一次方程式の考え方を教えてください

はるか昔、中学一年の一次方程式が苦手なまま年を取ってしまいました。

１％の食塩水４００グラムに、食塩を何グラムか入れたら１２％の食塩水になった。
食塩は何グラム入れたのでしょう。

という中一の方程式の問題を自力でといてみました。

食塩を追加した後も水の量は変わらないから、水の量を左右に置いて等式を作りました。
水の量は３９６グラムで変わらず（ここは暗算）、
１２％の食塩水は水の割合が８８％だから（ここも暗算）、

入れた食塩をＸグラムとする。
（４００＋Ｘ）× ８８/１００＝３９６

という式を作り、Ｘ＝５０グラムと出しました。

解答を見ると、答は５０グラムでしたが、式がまったく違いました。

解答は、

食塩をＸグラム入れたとする。
1/100 × 400＋ Ｘ ＝ 12/100 ( 400＋ Ｘ )

でした。
食塩の量を左右に置いた式でした。

増えてしまう物を等式で結ぶというのが思いつきませんでした。
わたしの作った式は「文字を使った等式」って感じで、「方程式を作る考え方」ができていないように感じます。
そもそも、暗算したものを式に入れてる時点で、テストではダメっぽいですよね。

「中一の方程式らしい」式を作る考え方やコツを教えてください。

No.5 ベストアンサー 回答者： he-goshite- 回答日時： 2017/02/23 13:17

回答者様のやり方でも決してダメという訳ではありません。

立派に理屈の通った考えで正しい結論に到達しています。
　

で，「中一の方程式らしい」かどうかわかりませんが，一般的な考えを書いてみます。

数学の，いわゆる「文章題」では，
問題文に書いてあることを，与えられた数値はなるべくそのまま使って，文章で書いてある通りに数式として書いてみるとよい
と，思います。

食塩水の場合，
　食塩の量，水の量，食塩水の量，食塩水の濃度　などが与えられるので，それらの値の関係について，わかっている（与えられた）条件（文章で示されている）を，数式でそのまま表せばよいです。

この問題の（模範？）解答では，
　式の左辺で，（濃度）×（食塩水の量）　がもとの食塩水の食塩の量を表し，
　　　　　　　＋（加えた食塩の量）　とすることで，食塩追加後の食塩の量 を 表します。
　式の右辺で，（得られた食塩水の濃度）×（得られた食塩水の量）を表しています。

そのあとで，
左辺も右辺もともに，（追加後の食塩の合計量）を別々の方法で求め表しているだけだから「値は等しい」　として，等号（イコール）で結んでいます。

この回答へのお礼

he-goshite-さま

お優しいお言葉ありがとうございます。
「問題文に書いてあることを，与えられた数値はなるべくそのまま使って，文章で書いてある通りに数式として書いてみるとよい」というアドバイス、とても参考になりました。
しかしそれが昔からできなかったので、苦手なままだったのですが（笑）

食塩水の問題の解き方の丁寧なご解説もとてもためになりました。

>左辺も右辺もともに，（追加後の食塩の合計量）を別々の方法で求め表しているだけだから「値は等しい」　として，等号（イコール）で結んでいます。

ご丁寧なご説明ありがとうございました。
ベストアンサーにさせていただきました。

お礼日時：2017/02/23 20:16

No.8 回答者： tekcycle 回答日時： 2017/02/23 19:35

全然良いと思いますよ。

欲を言えば、どちらの考え方でも解けるようになること、これからなること、色々な考え方ができるようになること、です。
暗算については、自学自習においては構いませんが、答案を書く場合はやめた方が良いし、
また、複雑な問題になると、暗算暗算暗算とやっているうちにどれがどれやら何をどうしたか判らなくなるかもしれませんので、まぁ書いておく方が良いです。

この回答へのお礼

tekcycleさま

ありがとうございます。
どちらの考え方もできるように頑張ります。

お礼日時：2017/02/23 20:13

No.7 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/02/23 16:15

解答の

1/100 × 400＋ Ｘ ＝ 12/100 ( 400＋ Ｘ )
が「中一の方程式らしい」なんてことは言えませんし、
『「方程式を作る考え方」ができていないように感じます』と感じる必要もありません(^^;)・・・だって、正しいのですからね(^^)
この式は、
（食塩の量の和）＝（濃度から計算できる食塩量）
となっているだけで、あくまで考え方の例でしかありません。
もちろん、食塩を加える前と加えた後で水の量は変わらない事に注目してＯＫです。
難を言えば、
「水の量は３９６グラムで変わらず（ここは暗算）」
とやっている所ですね。
方程式の良さは、式を書いてしまえば、その式を計算すれば答えが出てくるところにあります。
ですから、mitoke さんの場合は、

(100% - 1%)/100 × 400g = (100% - 12%)/100 ×(400g + X)

と立てればいいんです(^^)・・・すると、両辺に100をかけて

(100 -1 )×400 = (100 -12)×(400 + X)
99×400=88×400 + 88X　　　・・・・ここで、99×400 と 88×400 を計算しないで下さいね。
(99 - 88)×400 = 88X
11×400=88X
したがって、
X=4400/88=50

mitoke さん言われる「中一の方程式らしい」を立てるためには、
暗算などの計算結果を使うのではなく、
暗算などで使った計算式をそのまま書いてしまえばいいんですよ(^^)
・・・まあ、もっとも、慣れてくると、暗算結果をバーンと式の中に書いてしまう、なんて事はしょっちゅうなのですが・・・(^^;)
まずは、暗算せずに、式だけを書いてしまう練習をすればいいと思います。

蛇足ですが、「解答」の考え方も一緒にマスターすると、良い勉強になりますよ(^^)

参考になれば幸いです(^^v)

この回答へのお礼

ナッキーナッキーさま

とても詳しく、力強い励ましのようなご回答をありがとうございます。

>(100 -1 )×400 = (100 -12)×(400 + X)
99×400=88×400 + 88X　　　・・・・ここで、99×400 と 88×400 を計算しないで下さいね。
(99 - 88)×400 = 88X
11×400=88X
したがって、
X=4400/88=50

すごい。
計算が早い人って、こういうことがサラリとできてしまうんですね。
(; ･д･)
すごいものを見た気がします。

お礼日時：2017/02/23 20:10

No.6 回答者： 銀鱗 回答日時： 2017/02/23 13:29

たしかに考え方は間違ってはいないけど、

食塩水の濃度の問題は全体に含まれる塩の量に着目するのが定番だからね。

なぜか？
濃度の異なる塩水を混ぜて任意の濃度にしたとき混ぜた割合を求めろ…と言う問題では、質問者さんの考え方では計算式を導き出せないんです。
でも全体の塩の量に着目していれば、質問の正答の解説にある計算式をちょっと変えるだけで使えます。
汎用性が高い考え方なんですね。
汎用性が高いという事は間違えにくいという事です。

そんなわけで、
＞「中一の方程式らしい」式
…なんて考えちゃダメ。

この回答へのお礼

銀鱗さま

「食塩の量に着目するのが汎用性が高い考え方」という的確なご回答ありがとうごさいます。
なんだかトクをした気分です。
とてもためになりました。

お礼日時：2017/02/23 20:08

No.4 回答者： zircon3 回答日時： 2017/02/23 13:12

この問題を読んだ際に「出来上がった12%食塩水の重さは400gちょっとになる」ということがわかると、結果的に出来上がった12%の食塩水に含まれる塩の量を2つの書き方で表せることに気付きます。

一方あなたは「食塩を追加した後も水の量は変わらないから」としてしまっています。問題は追加した食塩の量（X）を求める事ですし、1%、12%というのも食塩の割合（つまりは量）ですから、水の量ではなく食塩に着目した見方をするとよいわけです。

で、二つの見方とは。。。
「1%、400gの食塩水に含まれる塩にある量（X）の食塩を加えた」という事実。これが左辺。
「左辺で示すやりかたで出来上がった食塩水（重さ400g＋追加の塩Xg）の12%が塩」という事実。これが右辺。

参考まで。

この回答へのお礼

zircon3さま
解答の式のご説明、よくわかりました。
ありがとうございました。

>「1%、400gの食塩水に含まれる塩にある量（X）の食塩を加えた」という事実。これが左辺。
「左辺で示すやりかたで出来上がった食塩水（重さ400g＋追加の塩Xg）の12%が塩」という事実。これが右辺。

読んだ時は理解できるのですが、
さて一人で問題を解くときに、これを頭に浮かべられるか…。( ..)φ

お礼日時：2017/02/23 20:06

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/02/23 13:06

貴方は、食塩水の方から計算していますが、簡単なのは、

食塩の量から計算する方が楽です。つまり、混ぜる前の食塩水1%に入っている量が、400x1/100=4g と混ぜる量の食塩 x の合計=x +400・1/100
混ぜた後は、12%で全体が、400+x と増えた量が全体の食塩水の量です。そして、その12%なので、(400+x)・(12/100) が同じなので、等号で結びつけます！

この回答へのお礼

sc348253さま

ご回答ありがとうございます。
sc348253さまは頭の回転のとても早い方とお見受けします。
sc348253さまの文章を理解するのに、さび付いて もったりしている当方の頭ではなかなか追いつけませんでしたが、読み返して理解できました。(;’∀’)
「・」(中点)は、「×」(かける)のことでいいのですね？
それもまた勉強になりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2017/02/23 20:03

No.2 回答者： かんぴんた 回答日時： 2017/02/23 12:53

1/100 × 400＋ Ｘ ＝ 12/100 ( 400＋ Ｘ )

加えた食塩のｇ数をＸとすると
①1/100 × 400・・・・１％食塩水中の食塩のｇ数
それにＸｇ加えた。１２％食塩水の食塩ｇ数となる。
②１２％食塩水の食塩ｇ数は12/100 ( 400＋ Ｘ )となり
①＝②


＞（４００＋Ｘ）× ８８/１００＝３９６

水に着目したのですね。普通はしません。
３９６の説明がありません。４００－１/１００×４００＝３９６

間違いじゃありませんが、バカな教師は×とするでしょうね。同じようなことをして教師にクレームつけて正答にしてもらったことがありますね。

この回答へのお礼

かんぴんたさま

すばやいご回答ありがとうございます。
囲み数字を使ってわかりやすく説明していただきましてありがとうございました。
とても参考になりました。

お礼日時：2017/02/23 20:01

No.1 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/02/23 12:53

求めるものを直接Xとおいている時点では同じですね。

暗算と言ってますが、暗算で出来るという事は、式で書くこともできるという事です。
(400+X)*(100-12)/100=400*(100-1)/100
となりますね。
なかなかこの式を使う人はいないと思いますが、式自体は問題ありませんので、食塩の重さが等しいとして式を立てよ。と言った条件がないのであれば間違いにはならないでしょう。

増えてしまうものを等式で結ぶと言いますが、
1+1=2
という単純な式でも、1つある所に1つ加えて2つとなった。という変化を表しているともいえます。
食塩の問題で塩の重さを等式で置くのは、食塩の濃度が塩の割合を表しているからだと思います。
水の量で計算するには、1度濃度から水の割合に変換する必要がありますよね。

どちらであれ、自分の分かりやすい式で立てるのがいいと思いますよ。

この回答へのお礼

yuji3690さま

あっという間にご丁寧なご回答をいただき、感激いたしました。

>増えてしまうものを等式で結ぶと言いますが、
1+1=2
という単純な式でも、1つある所に1つ加えて2つとなった。という変化を表しているともいえます。

そう言われると納得できました。

>水の量で計算するには、1度濃度から水の割合に変換する必要がありますよね。

そうですね。二度手間ですね。
食塩どうしで等式を作る意味がわかりました。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2017/02/23 19:58