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2次方程式x^2+ax+b=0は正の解を少なくとも一つもつ。点(a,b)の存在範囲を図示せよ。

という問題を補集合で考えて解きたいと思うのですがうまくいきません。

質問者からの補足コメント

  • (i)負の解を二つもつ(重解を含む)条件より
    f(0)>0 b>0
    -a/2<0 すなわち a>0
    -a^2/4+b≦0 b≦a^2/4

    (ii)解をもたない条件より
    -a^2/4+b>0 すなわち b>a^2/4

    (i)(ii)の補集合を考えて
    b≦0
    a≦0 または b≦a^2/4
    b≦a^2/4

    となったのですが間違っているのか、(a,b)の存在範囲が書けません。

    どこか間違っているのでしょうか?

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2017/02/24 14:46
  • しつこくてすいませんが、グラフでひっくり返すと確かに答えの図と一致したのですが、不等式の否定をとるとうまくいきません。

    なぜですか?

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2017/02/24 17:08

A 回答 (5件)

普通に解くと、(a^2)/4≧bであり(「b<0」もしくは「0≦bかつa<0」)



「正の解を少なくとも一つもつ」(a,b)の集合
↓補集合
「解があり、全て0以下である もしくは 解なし」である(a,b)の集合

解があり、全て0以下である条件
f(0)=b≧0
-a/2≦0→0≦a
a^2-4b≧0→b≦a^2/4
∴0≦a and 0≦b and b≦a^2/4

解なしの条件
b>a^2/4

よって補集合は
0≦a and 0≦b and b≦a^2/4 ∪ b>a^2/4

この補集合の補集合(つまり求める集合)は
0>a or 0>b or b>a^2/4 ∩ b≦a^2/4

書き直すと
0>a ∩ b≦a^2/4 or 0>b ∩ b≦a^2/4 or b>a^2/4 ∩ b≦a^2/4

a-b平面で考えると(aは横軸,bは縦軸とする)

0>a ∩ b≦a^2/4は、b軸より左で、b=a^2/4のグラフ上を含めてグラフより下。
つまり、第二象限の内b≦a^2/4であるものと第三象限全て(b軸上は含めない)

0>b ∩ b≦a^2/4は、a軸より下で、b=a^2/4のグラフ上を含めてグラフより下。
つまり第三象限と第四象限の全て(a軸上は含めない)

b>a^2/4 ∩ b≦a^2/4
は存在しない。

これらを合わせたものとなるので、
第二象限の内b≦a^2/4であるもの、第三象限全て、第四象限全て(第四象限におけるb軸は含めない)
という図形になる。
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この回答へのお礼

補集合のところでかつとまたはの取り方を間違えていたようでした!

おかげさまで理解できました。また宜しくお願いします(^ω^)

お礼日時:2017/02/25 14:45

多分、補集合を考えるときに、「かつ」と「または」の否定の部分で考え違いをしてるのだと思います。


(i)または(ii)の補集合なので
(i)の補集合かつ(ii)の補集合となります。
また、(i)の補集合のそれぞれの不等式で表された集合はまたはでつながっています。
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補足コメントの


> (i)負の解を二つもつ(重解を含む)条件より
> f(0)>0 b>0
> -a/2<0 すなわち a>0
> -a^2/4+b≦0 b≦a^2/4
>
> (ii)解をもたない条件より
> -a^2/4+b>0 すなわち b>a^2/4

ここまでは合ってると思います。
(i)(ii)の和集合を考えると
第1象限すべてと第2象限の放物線より上
になるのでそれをひっくり返せばいいです。
この回答への補足あり
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補を考えると返って複雑で面倒。


「解が2個とも0以下」の補が「少なくとも一つは正」。

解が2個とも0以下を求めて、その補をとる。

解と係数の関係から
①解の和≦0 and 解の積≧0 and ②実数解。
実数解は譲れない条件だから、これは補を取れない。
実数解の条件はa²-4b≧0 →b≦a²/4

①の条件は-a≦0 and b≧0
これの補はa<0 又は b<0 。これに②が絶対条件で加わる。
場合分けが3通りも出てしまう。

(1)a<0 and b<0 and b≦a²/4
(2)a<0 and b≧0 and b≦a²/4
(3)b<0 and a≧0 and b≦a²/4
「補集合で解きたい」の回答画像2
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「2次方程式x^2+ax+b=0は正の解を少なくとも一つもつ」の否定が


「2次方程式x^2+ax+b=0は負or0の解を2つもつ」だから、

たとえば解と係数の関係から
a*b≧0
a+b<0
の範囲を求めて、「そこ以外」ってやるのはダメかな?
この回答への補足あり
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>解答を入力しようとしたら、ブロックされてしまいましたが、
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日本語だと「メートル毎秒毎秒」ってなりますけど、なんだかわかんないですよね。

簡単に理解するためには、まず速度の単位について考えてみるとよいです。
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って言うのが大切です。抽象的な法則や公式は、抽象的なゆえに、実例を伴わず、感覚が得にくいもの。
丸暗記して、計算が解けるようになってから、本当はこういう意味なんだ・・・って覚えるのが本質。

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