補集合で解きたい

Question

2次方程式x^2+ax+b=0は正の解を少なくとも一つもつ。点(a,b)の存在範囲を図示せよ。

という問題を補集合で考えて解きたいと思うのですがうまくいきません。

yuji3690 · Accepted Answer

普通に解くと、(a^2)/4≧bであり（「b<0」もしくは「0≦bかつa<0」）

「正の解を少なくとも一つもつ」(a,b)の集合
↓補集合
「解があり、全て0以下である　もしくは　解なし」である(a,b)の集合

解があり、全て0以下である条件
f(0)=b≧0
-a/2≦0→0≦a
a^2-4b≧0→b≦a^2/4
∴0≦a and 0≦b and b≦a^2/4

解なしの条件
b>a^2/4

よって補集合は
0≦a and 0≦b and b≦a^2/4　∪　b>a^2/4

この補集合の補集合（つまり求める集合）は
0>a or 0>b or b>a^2/4　∩　b≦a^2/4

書き直すと
0>a ∩ b≦a^2/4　or　0>b ∩ b≦a^2/4　or　b>a^2/4 ∩ b≦a^2/4

a-b平面で考えると(aは横軸,bは縦軸とする)

0>a ∩ b≦a^2/4は、b軸より左で、b=a^2/4のグラフ上を含めてグラフより下。
つまり、第二象限の内b≦a^2/4であるものと第三象限全て（b軸上は含めない）

0>b ∩ b≦a^2/4は、a軸より下で、b=a^2/4のグラフ上を含めてグラフより下。
つまり第三象限と第四象限の全て（a軸上は含めない）

b>a^2/4 ∩ b≦a^2/4
は存在しない。

これらを合わせたものとなるので、
第二象限の内b≦a^2/4であるもの、第三象限全て、第四象限全て（第四象限におけるb軸は含めない）
という図形になる。

ざわざわざわ · Answer

多分、補集合を考えるときに、「かつ」と「または」の否定の部分で考え違いをしてるのだと思います。
(i)または(ii)の補集合なので
(i)の補集合かつ(ii)の補集合となります。
また、(i)の補集合のそれぞれの不等式で表された集合はまたはでつながっています。

ohkinokomushi · Answer

補足コメントの
> (i)負の解を二つもつ(重解を含む)条件より
> f(0)>0 b>0
> -a/2<0 すなわち a>0
> -a^2/4+b≦0 b≦a^2/4
>
> (ii)解をもたない条件より
> -a^2/4+b>0 すなわち b>a^2/4

ここまでは合ってると思います。
(i)(ii)の和集合を考えると
第1象限すべてと第2象限の放物線より上
になるのでそれをひっくり返せばいいです。

t_fumiaki · Answer

補を考えると返って複雑で面倒。
「解が２個とも0以下」の補が「少なくとも一つは正」。

解が２個とも0以下を求めて、その補をとる。

解と係数の関係から
①解の和≦0 and 解の積≧0 and ②実数解。
実数解は譲れない条件だから、これは補を取れない。
実数解の条件はa²-4b≧0 →b≦a²/4

①の条件は-a≦0 and b≧0
これの補はa<0 又は b<0 。これに②が絶対条件で加わる。
場合分けが3通りも出てしまう。

(1)a<0 and b<0 and b≦a²/4
(2)a<0 and b≧0 and b≦a²/4
(3)b<0 and a≧0 and b≦a²/4

funoe · Answer

「2次方程式x^2+ax+b=0は正の解を少なくとも一つもつ」の否定が
「2次方程式x^2+ax+b=0は負or０の解を２つもつ」だから、

たとえば解と係数の関係から
ａ＊ｂ≧０
ａ＋ｂ＜０
の範囲を求めて、「そこ以外」ってやるのはダメかな？

補集合で解きたい

普通に解くと、(a^2)/4≧bであり（「b<0」もしくは「0≦bかつa<0」）

多分、補集合を考えるときに、「かつ」と「または」の否定の部分で考え違いをしてるのだと思います。

補足コメントの

補を考えると返って複雑で面倒。

「2次方程式x^2+ax+b=0は正の解を少なくとも一つもつ」の否定が

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