ルートの公式と複素数について

画像のような問題を考えています。左辺は、ab=1なので、そのルートは１、右辺は－１のルートである i の2乗で（i^2)です。すなわち 1 = i^2 となるので間違っていることになります。

数学の理論展開で何か間違っているのですが、どこでしょうか。よろしくお願いします。

No.13 回答者： hiccup 回答日時： 2017/03/22 09:45

解決した。

公式は成り立つ。

√( )　を二重の複素平面から複素平面への関数と考えれば、２つのうちのどちらかなどと考えずに、高校までの根号の拡張にできる。
定義域が拡張されるが。

いわゆるリーマン面であるが、そこに演算を考えるので、リーマン面と呼んで良いか分からない。

二重の複素平面にあるのは公式の a と b の方、普通の複素平面にあるのは √a や √b の方。
ab で気をつけなければならない。
たとえば　(-1)×(-1)　は、１周して第２面に入り 1' になるように。

以上。

何を混乱していたのかと

No.12 回答者： hiccup 回答日時： 2017/03/21 22:59

複素数では、ab≠0 のとき、√(ab)、√a、√b はそれぞれ、２つのうちのどちらかを明らかにしておいて等号が成り立つように選ばれます。

√1 や √(-1) の式でも、等号が成り立つように選ばれます。
だいたい等号が成り立たないようにするのは、ひとをからかうためでしょう。


さて、これは公式なのか？と自問すると、わけがわからなくなりました。
その思考が以下です。

a、b を 0 でない複素数とし、複素平面で考える。
a の平方根は √a または -√a である。
√a と -√a は原点対称である。
a を連続的に動かすと、√a と -√a もまた位置関係を保ちながら連続的に動く。
そのとき、瞬間移動して双子ちゃんが入れ替わるということはない。

a を原点の周りを１周させて元の位置に戻すとき、a は a のままだが、√a は動かす前の a に対する -√a になっている。
さらに同じことをすると、√a は元の位置に戻る。
これは、√a が双子の他方も表しうることをいっている。

(√a × √b)^2　を考えてみよう。
これは２乗なので、２つの √a は同じものである。よって √a × √a = a である。
√b も同様である。よって　(√a × √b)^2 = ab　である。
よって　√a × √b　は　ab　の平方根のひとつである。
したがって　√(ab)　か　-√(ab)　のいずれかである。

a や b を連続的に動かすとき、√(ab) と -√(ab) は原点対称を保持しながら連続的に動く。
瞬間移動してすり替わることはない。

√a × √b = √(ab)　の場合について考えてみる。
本質的なところは単位円上で調べれば良い。
いま、a を原点を中心に 360 度回転させたものを a' と書くことにする。この２つは同じものであるが、根号と組み合わさると違うものを表す。すなわち
　√a' = -√a
そして　√1 = 1　とする。√1' = -1　である。

下の図は、√a 、√b それぞれの単位円上の値の組を表している。どちらも偏角にして 4π の周期である。
周期があるとは、領域を動いて上にはみ出たと思った瞬間に下から出現したり、左に見切れたらその瞬間に右から現れるというものである。
そして斜めの線が、√a × √b の値を表す。
白丸は４種の √(-1) × √(-1) 。
右の図は、わかり易いよう描き変えたものである。4πの周期だとわかる。

√1 × √1 = 1　のところから領域を上にたどれば、√1 × √b の値をみることができる。これは、√(1×b) と一致すると思われる。よって素直に、√a × √b = √(ab) だと仮定するのである。

すると、√(-1) × √(-1) = √1' × √1 = √1 × √1' = -1　が、図から読み取れる。
そこから
　　√{(-1)×(-1)} = √(1' × 1) = √(1 × 1') = -1
であるはずである。
さて、
　　√{(-1)×(-1)} = √(1' × 1)
は、どう解釈すればいいのだろうか？

√(1' × 1) = -1 なのだから √(1' × 1) = √1'　は成り立っている。
だが、√(1' × 1) = -1 の前提なしで、√(1' × 1) = √1'　は成り立つのだろうか？
(-1)×(-1)=1　であるが、根号と合体させた記号としては
√{(-1)×(-1)}=√1'
になるのだろうか？
根号の中のかけ算が普段通りにできないのであれば、√(1' × 1) はどう簡略化できるのか？


もう分かってるような、分かってないような
ここで思考を中断します。暇じゃないのです。


公式にするなら、「ただし等号が成り立つように選ぶ」と書かれてあればいいんじゃないかな、というのが個人的な感想。
あ、勝手に公式と呼んでいるのは私です。

No.11 回答者： hiccup 回答日時： 2017/03/21 15:56

自分が書いたことが公式は成り立たないといってる気がする件

No.10 回答者： hiccup 回答日時： 2017/03/18 15:18

√(-1) × √(-1)　について、x^2 に代入しました、みたいに出自が同じ場合はその値は -1 だけど、そうでない場合は同調するとは限らず、その値が 1 になることがある

などと書いてみる。

No.9 回答者： hiccup 回答日時： 2017/03/18 12:34

> 定義が拡張されたとき、拡張される前の狭義の定義の部分が変更を受けないというところが重要だと思いますが。

再定義ってのもあるよ。


> 1.「aが正の場合、2乗してaになる数を√aと書く」

この √a が、平方根のいずれかを表し、いずれをも表すという意味で使っているのなら、いいんじゃないの？
ただ、多価性のあるものを扱うときは等号が成り立つように選んでたような・・・（笑）

No.8 回答者： kmee 回答日時： 2017/03/18 09:44

これは、ルートの定義等から導き出された

a≧0 かつ b≧0 のとき √(ab)=√a√b
という定理です。
ルートの掛け算を「定義」したものではありません。


√(ab) は
a・bという積が定義されている
→ 定義より a・b は c と置くことができる
→ √c は定義されている
となります。わざわざ「積のルート」を定義しなおす必要性は認められません。


四則演算でも、計算順序を変えると結果が違うことがあります。
計算順序を変えても同じ結果になることもあります。
これを、「計算順序を変えても同じ結果になることがあるのだから、全てのケースでそうあるべきだ」というのは無理な話です。

それと同様に、ルートの計算も、計算順序を変えたら結果が変わることがあります。
計算順序を変えても同じ結果になることもあります。
これを「a≧0 かつ b≧0 のとき √(ab)=√a√b なのだから、全てのa,bで √(ab)=√a√bであるべきだ」というのは無理な話です。

No.7 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/03/18 09:26

回答者の皆さんが書かれているように、

a>0,b>0のときのみ√(ab) = √a √b です
それから、√(e^(iθ))=e^(iθ/2)ではありません。
√(e^(iθ))=e^(iθ/2)とe^{i(θ/2)+π}　となります。
一般に、複素数のn乗根(1/n 乗）はｎ個の多価関数になり、
多価解析関数として扱わなければなりません。
つまり、記述の方法はそっくりだけれども、
実数と複素数では扱いが異なると言うことです。
複素解析などの本を見てみると、
細かいところで実関数の扱いと異なる部分がたくさん出てきます。
複素解析などの本でn乗根を調べてみて下さい。
多分、逆関数を使って説明がなされ、逆関数を使って微分の結果を導いていると思います。

No.6 回答者： hiccup 回答日時： 2017/03/17 19:59

x^2=exp(iθ)

の解は
x=±√exp(iθ)
だけど
x=exp(iθ/2) , exp(iθ/2 + iπ)
でもある。
どっちがどっちなのか？

θ=0　とすると
x^2=1
x=1, -1
となるので
√exp(iθ)=exp(iθ/2)
なんだろうな、と思うと、θ=2π としたとき
√1=-1
となる。

ちがった
√exp(iθ)=exp(iθ/2 + iπ)
だったんだ！と思うと、θ=0 としたとき
√1=-1
となる。


だから、大丈夫なんじゃない？

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2017/03/17 15:28

√（ab）＝√a√b が成立する条件は何でしたか。

中学校で習った、「平方根の定義」を思い出して下さい。
その時には、複素数は考えに無かった筈ですが。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
中学では、√aにおいてaが負であることが定義されていないと思います。そのためその範囲で考えるため、√(ab)=√a√bの成立について制約は無かったという風になると思います。もし複素数が導入されたあとあの式は再定義されることになるのだろうと思いますが。

お礼日時：2017/03/18 07:54

No.4 回答者： he-goshite- 回答日時： 2017/03/17 14:43

＞画像のような問題を考えています。

というのは

√ab ＝ √a・√ｂ　という方程式があって，その解が
a ＝ -1，ｂ = -1　である
ということが正しいか？

ということを考えているということですか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
式ですが、左辺の定義（あるいは変換）が右辺である、という解釈を前提にお尋ねしています。しかし、この式には使用条件がついており、その条件が暗黙に含意されているということです。あの式が提示されたとき、式の上にその条件が見えている必要があるようです。

お礼日時：2017/03/18 06:19