ルートの公式と複素数について

画像のような問題を考えています。左辺は、ab=1なので、そのルートは１、右辺は－１のルートである i の2乗で（i^2)です。すなわち 1 = i^2 となるので間違っていることになります。

数学の理論展開で何か間違っているのですが、どこでしょうか。よろしくお願いします。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/03/17 07:54

√aの定義は、「aが正の場合、2乗してaになる数を√aと書く」

そもそも、この定義に反している。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
複素数が導入される前、aが負であることは考えないことにしたわけですね。

複素数が導入されたあと、√aの定義は拡張され、
1.「aが正の場合、2乗してaになる数を√aと書く」
2.「aが負の場合、2乗して-aになる数をi√-aと書く(-aは正なので√-aは1.で定義済)」
3.「aが0の場合、０とする」
4.複素数の場合、どうするとも書けないでしょうか。極形式にすると、わかりやすくなると思いますが、√(e^(iθ))=e^(iθ/2)はどのような形式でOKになるのでしょうか。ゲームのルールという風に思えるので"そのように決めた"、でもいいのでしょうが矛盾がないでしょうか。

定義が拡張されたとき、拡張される前の狭義の定義の部分が変更を受けないというところが重要だと思いますが。

お礼日時：2017/03/18 05:58

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/03/17 08:13

a,b<0の場合を虚数に拡張すると

√a × √b = √-(-a) × √-(-b)=

i√-(-a) × i√-(-b) =

i²√(-a)(-b) = -√ab

a,b<0の場合は√a√b=-√ab

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/03/17 08:16

3行目の-を外すの忘れたから再度

a,b<0の場合を虚数に拡張すると

√a × √b = √-(-a) × √-(-b)=

i√(-a) × i√(-b) =

i²√(-a)(-b) = -√ab

a,b<0の場合は√a√b=-√ab

No.4 回答者： he-goshite- 回答日時： 2017/03/17 14:43

＞画像のような問題を考えています。

というのは

√ab ＝ √a・√ｂ　という方程式があって，その解が
a ＝ -1，ｂ = -1　である
ということが正しいか？

ということを考えているということですか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
式ですが、左辺の定義（あるいは変換）が右辺である、という解釈を前提にお尋ねしています。しかし、この式には使用条件がついており、その条件が暗黙に含意されているということです。あの式が提示されたとき、式の上にその条件が見えている必要があるようです。

お礼日時：2017/03/18 06:19

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2017/03/17 15:28

√（ab）＝√a√b が成立する条件は何でしたか。

中学校で習った、「平方根の定義」を思い出して下さい。
その時には、複素数は考えに無かった筈ですが。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
中学では、√aにおいてaが負であることが定義されていないと思います。そのためその範囲で考えるため、√(ab)=√a√bの成立について制約は無かったという風になると思います。もし複素数が導入されたあとあの式は再定義されることになるのだろうと思いますが。

お礼日時：2017/03/18 07:54

No.6 回答者： hiccup 回答日時： 2017/03/17 19:59

x^2=exp(iθ)

の解は
x=±√exp(iθ)
だけど
x=exp(iθ/2) , exp(iθ/2 + iπ)
でもある。
どっちがどっちなのか？

θ=0　とすると
x^2=1
x=1, -1
となるので
√exp(iθ)=exp(iθ/2)
なんだろうな、と思うと、θ=2π としたとき
√1=-1
となる。

ちがった
√exp(iθ)=exp(iθ/2 + iπ)
だったんだ！と思うと、θ=0 としたとき
√1=-1
となる。


だから、大丈夫なんじゃない？

No.7 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/03/18 09:26

回答者の皆さんが書かれているように、

a>0,b>0のときのみ√(ab) = √a √b です
それから、√(e^(iθ))=e^(iθ/2)ではありません。
√(e^(iθ))=e^(iθ/2)とe^{i(θ/2)+π}　となります。
一般に、複素数のn乗根(1/n 乗）はｎ個の多価関数になり、
多価解析関数として扱わなければなりません。
つまり、記述の方法はそっくりだけれども、
実数と複素数では扱いが異なると言うことです。
複素解析などの本を見てみると、
細かいところで実関数の扱いと異なる部分がたくさん出てきます。
複素解析などの本でn乗根を調べてみて下さい。
多分、逆関数を使って説明がなされ、逆関数を使って微分の結果を導いていると思います。

No.8 回答者： kmee 回答日時： 2017/03/18 09:44

これは、ルートの定義等から導き出された

a≧0 かつ b≧0 のとき √(ab)=√a√b
という定理です。
ルートの掛け算を「定義」したものではありません。


√(ab) は
a・bという積が定義されている
→ 定義より a・b は c と置くことができる
→ √c は定義されている
となります。わざわざ「積のルート」を定義しなおす必要性は認められません。


四則演算でも、計算順序を変えると結果が違うことがあります。
計算順序を変えても同じ結果になることもあります。
これを、「計算順序を変えても同じ結果になることがあるのだから、全てのケースでそうあるべきだ」というのは無理な話です。

それと同様に、ルートの計算も、計算順序を変えたら結果が変わることがあります。
計算順序を変えても同じ結果になることもあります。
これを「a≧0 かつ b≧0 のとき √(ab)=√a√b なのだから、全てのa,bで √(ab)=√a√bであるべきだ」というのは無理な話です。

No.9 回答者： hiccup 回答日時： 2017/03/18 12:34

> 定義が拡張されたとき、拡張される前の狭義の定義の部分が変更を受けないというところが重要だと思いますが。

再定義ってのもあるよ。


> 1.「aが正の場合、2乗してaになる数を√aと書く」

この √a が、平方根のいずれかを表し、いずれをも表すという意味で使っているのなら、いいんじゃないの？
ただ、多価性のあるものを扱うときは等号が成り立つように選んでたような・・・（笑）

No.10 回答者： hiccup 回答日時： 2017/03/18 15:18

√(-1) × √(-1)　について、x^2 に代入しました、みたいに出自が同じ場合はその値は -1 だけど、そうでない場合は同調するとは限らず、その値が 1 になることがある

などと書いてみる。