2直線y=1/2xとy=-1/3xのなす角θ 解き方教えてください

2直線y=1/2xとy=-1/3xのなす角θ

解き方教えてください

No.9 回答者： sc348253 回答日時： 2017/03/30 21:27

添付の図です！

No.8 回答者： sc348253 回答日時： 2017/03/30 21:21

今度は、ベクトルの外積で解いてみよう！

No5のベクトルをお借りして
ベクトル b=(3,ー1)
ベクトル a=(2,1) とおく

ベクトル外積 b・a =√｛3^2+(ー1)^2｝・√(2^2+1^2)・sin θ=√10 ・√5・sin θ
また、図より 外積=3・1ー2・(ー1)=5
よって
sin θ=5/(√10・√5)=1/√2 から θ=45度

ただし、i j k は、xyz座標における単位ベクトルとする！

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2017/03/30 20:48

余弦定理で解けます！

求める角度をθとおく
y=(1/2)x より、x=1 y=1/2
y=ー(1/3)x より x=1 y=ー1/3
だから
点(1,1/2)と(1,ー1/3)と原点(0,0)を通る三角形において余弦定理を使うと良い

原点と点(1,1/2)との距離は、三平方の定理より
√1+(1/2)^2=√5/4
原点と点(1,ー1/3)との距離は、同じく
√1+(ー1/3)^2=√10/9
点(1,1/2)と点(1,ー1/3)との距離は
1/2 + 1/3 =5/6
よって、余弦定理より
(5/6)^2=｛√(5/4)｝^2+｛√(10/9)｝^2ー2・√(5/4) ・ √(10/9) cosθ

25/36=5/4 +10/9 ー√(50 /9) cosθ
√(50/9) cosθ=(5・9+4・10ー25)/36=60/36=5/3
∴ cosθ=5/√50=√(25/50)=1/√2
よって、求める角度は、45度 …Ans

No.6 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/03/27 17:13

原点をOとします。

y=(1/2)xにしたがって、x方向に2、y方向に1の点をAとします。　A(2,1)
分かりやすくしただけであり、別にx=1/2,y=1/4とかでも何でもいいです。
Aを通りOAに垂直な直線の式を考えます。
OAの傾きが1/2であるので、それに垂直な傾きは-2です。
Aを通るので、y=-2x+5となります。
この直線とy=-(1/3)xの交点をBとします。
Bの座標を求めると
-2x+5=-(1/3)x
5=(5/3)x
x=3　→　y=-1　B(3,-1)

この時OA⊥ABで
OA=√(2^2+1^2)=√5
OB=√(3^2+1^2)=√10
AB=√(1^2+2^2)=√5
よってこれは1:1:√2の直角三角形であるので、θ=45°です。

すぐに分かる直角三角形でなかった場合は、
sin,cos,tanからSin-1,Cox-1,Tan-1で表すことになりますね。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2017/03/27 16:39

y = (1/2)x　　　①

y = -(1/3)x　　　②
と解釈します。

y=1/(2x), y=-1/(3x) だと直線になりませんので。

２本の直線の角度なので、ベクトルを使って計算しましょう。

①の直線状のベクトルの１つは
　→a = (2, 1)
②の直線状のベクトルの１つは
　→b = (3, -1)
と書けます。

この２つのベクトルの内積は、成分から
　(→a)･(→b) = 2*3 + 1*(-1) = 5　　　③
ベクトルのなす角 θ を使って
　(→a)･(→b) = |→a|*|→b|*cosθ
で表わせ、
　|→a| = √(2² + 1²) = √5
　|→b| = √(3² + 1²) = √10
より
　(→a)･(→b) = 5√2 *cosθ　　　④

③④が等しいことから
　cosθ = 1/√2
従って
　θ = 45°

No.4 回答者： Ku-Mei 回答日時： 2017/03/27 16:10

解き方は、次の通りです。

まず、それぞれの直線の傾きから、直線とx軸とのなす角 θ1, θ2 のタンジェントを求めます。
次に、２角の和 (θ1 + θ2) のタンジェントを求めます。このとき、角の和のタンジェントの公式
　　tan(θ1 + θ2) = sin(θ1 + θ2)/cos(θ1 + θ2)
　　　　　　　= (tanθ1 + tanθ2)/(1 - tanθ1 tanθ2)
を用います。
このタンジェントの値 x から、アークタンジェント tan^(-1) x を求めて
角の和 (θ1 + θ2)が求まります。

この問題の場合、タンジェントの値がよく知られた角のタンジェントの値になりました。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2017/03/27 15:46

両式とも直線で、その傾斜は以下で求められます。

　傾斜角度=tan(y/x)
両者の傾斜角を求めて、その差分が答えです。
ご参考まで。