正負の数の理由、理屈（中学一年生の数学）

Question

正の数を「引く」ことは負の数を足すことに同じである。

Ｘ－(＋Ｙ)＝Ｘ－Ｙ

この理由、理屈を数学が苦手な中学生にわかりやすく説明するにはどうしたらいいのでしょうか？

ナッキーナッキー · Accepted Answer

易しそうで、難しい問題ですね(^^;)
”決まりだから憶えろ”なんて言うと、生徒がやる気を失う可能性もありますからねぇ～(～～；）
Ｎｏ２の方が書かれているように、数直線を使って説明するやり方がスタンダードですね。
但し、これも使い方を間違えると生徒が混乱します。
特に、文字を使って説明することは避けた方が良いでしょう。
それから、ＸとＹには具体的な自然数を用いる方がよいと思われます。
つまり、
５－３＝５＋（－３）
左辺の引き算はすぐにできるはずですので、右辺の（－３）をＮｏ２の方が書かれているように解釈して説明します。
これで生徒が納得したら、後はこう言う理由で
Ｘ－（＋Ｙ）＝Ｘ＋（－Ｙ）
だと説明して切り上げます・・・深みにはまるような説明は避けた方がいいでしょう。

何故、深みにはまるような説明を避けた方がいいのか・・・
実はそれは、負の数は必ずしも人間にとって直感的な”数”では無いからです。
ヨーロッパでは、結構長い期間、負の数を受け入れなかったという歴史が有り、
パスカルなどは、０－４は０に決まってんだろ！なんて言っているんですね(^^;)
今でこそ教育により負の数を普通に使っていますが、決して”自明な数”とは言えないようです。

それから、１９世紀頃から、数学を”数えること”から切り離す動きが出てきます。
つまり、”数えること”で”数”を捉えるのではなく、公理的に扱うって事です(^^)
”数えること”にこだわると、数学が制限され、限界が来てしまうって事ですね。
そんな事情がありますので、なるだけ早く数学を論理的規則として受け入れられるようにするべきでしょうねぇ～(^^)

余計な事まで書きましたが、参考になれば幸いです(^^v)

kmee · Answer

説明はちょっと思いつきませんが。

「正の数を『引く』ことは負の数を足すことに同じである。」

を式にすれば

Yを正の数とするとき
X-Y  = X + (-Y)
(あるいは、+を強調して X-(+Y)  = X + (-Y) )
となります。
あるいは

Yを正の数とするとき
X-Y  = X+Z (ただし、Z=-Y)

> Ｘ－(＋Ｙ)＝Ｘ－Ｙ
この式自体は成立しています。
ですが、これを日本語に直訳すれば「+Yを引くことは、Yを引くことと同じ」となります
元の「正の数を引くことは、負の数を足すことと同じ」という意味にとらえることができません。
この式を見ながら理屈を考えようとするなら、たしかに理解できないでしょう。

sc348253 · Answer

数学の式で考えずに、お金で考えるとわかりやすいでしょう！つまり
今、1000円持っています。500円の買い物をしたので、
      1000--500=500円が手元に残金としてのこりました！

次に、買い物がどうしても欲しいので、ある人に、500円借りましたからー500円ですね！
         給料が、後日1000円入ったので、借りた人に500円返しました！
 つまり、ー500+1000=500円に残金になりました。

同じく、タイムラグはありますが、結局、残金として、500円になりました！
これで、納得でしょう！生活と一致させたらいいですよ！還暦目前の生活の知恵です！

ORUKA1951 · Answer

というか「数学が苦手な人が説明するには」ですね。
　これは、数学/代数学の基本中の基本ですよ。
算数では
・小さい数から大きい数は引けない
・計算の順番は変えてはならない
　　2個のイチゴが３皿　2×3
　　2 - 3 ≠ 3 - 2
　　10 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 10
 　だから、未知数の場合は、その数の大小で場合分けとかが必要

そこで、数を拡張して、負の数、逆数（分数）を導入します。
　負の数とは、ある数に加えると0になる数
　分数（逆数）とは、その数に掛け合わせると１になる数。

それが、代数の出発点でしたね。

＞正の数を「引く」ことは負の数を足すことに同じである。
　違いますね。
　「引き算」と言う演算を、「負数を加算」とすることで、交換則や結合則、分配則を行える群としてみなすための考え方。
　同様に、「割り算」を「逆数をかけること」にすることで、四則演算ができるようにすること。
　ということです。意味が違うの分かりますか？

それによって、
数の大小どころか、未知数であっても四則演算ができるということ。
　　　　　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣代数

ここを理解しておかないと、数学で一生苦しむことになる。

2x - 6 = 8
とは、
(+2)*x + (-1)*(+6) = +8
と考える。
すなわち
2x + (-6) = 8
両辺に、6 (+6)を加える
2x + (-6) + 6 = 8 + 6
交換で
2x + 6 + (-6)= 8 + 6
　　　￣￣￣=0
2x = 14
両辺に 1/2 をかける
2x × 1/2 = 14 × 1/2
交換
2 × 1/2 × x = 14 × 1/2
￣￣￣￣1
x = 7

kairou · Answer

理屈ではなく、そう云うものだとして覚える方が良いと思います。

例えば、あなたが誰かに１０００円借りたとします。
1000円は借金ですから、あなたの財産は（－1000円）です。
更に５００円借りた場合は、借金は1500円になりますね。
計算は、（－1500）+（－500）＝－1500 となります。
決してー1500+500 には成りませんよね。

もう一つ、小学校の算数では　加減乗除の四つがありましたが、
中学校で「数学」になると、この問題の様に
引き算は「負の数」を足す事になり、
割り算は「逆数」を掛ける事になります。
（例えば、２で割ると云う事は、２分の１を掛けるとこです。）

uyama33 · Answer

Ｘ＋Ｙ＝0
となるYを　ーX　と書く。
この　ーX　を加える計算を
A+(ーX)　を簡単に（省略して）書いたものが
AーX
である。
よって、
正の数を「引く」ことは、負の数を足すこと　を省略して簡単に書き表したものである。
と、どこかに書いてあった。

rukuku · Answer

こんにちは

「数直線」が分かりやすいと思います。

例えば
・３を足す→右へ３移動する
・３を引く→左に３移動する
と説明できます。

ご質問の
＞正の数を「引く」ことは負の数を足すことに同じである。
「"－"の記号は、向きを逆にする」と説明できます。
"－"は"引く"ではなく、"向きを逆にする記号"と考えます。
・正の数を足せば、右へ移動します。
・正の数を引けば、左へ移動します（方向が反転していますので）。
・負の数を足せば、左へ移動します（↑と同じ理由で、方向が反転しているので）。

同じように考えると
・負の数と引くと左へ移動します（反転の反転で元の向きになります）。
と説明できます。

自分では分かっている事でも、他人に説明しようとすると難しいものです。
参考になれば幸いです。

moon-and-star · Answer

そのような理屈が必要でしょうか？
私は60代後半のおじさんですが中学1年の時、丁度この＋、－の部分で躓き数学が嫌いになりそうでした。
まあ、その後そこをクリアしたら数学は得意になりましたが･･･
　　　
余談はさておき、冒頭にも書きましたがそのような論理は必要がないように思います。
書かれた数式
Ｘ－(＋Ｙ)＝Ｘ－Ｙ
　　　
正の数、負の数などと考えず、これは約束事。
約束事は理屈ではなく無条件で覚える事。
そして、それは以下の通り。
　　　
正の数は「＋」を付けてもよいけれど一般的には省略されているのだよ。
省略しない場合は数字の前に符号「+」を付けて数字とともに括弧で括るのだよ。
マイナスの場合は省略せず「-」を付ける事、付けなければ正の数と間違えるからね。
こちらも符号と数字を会わせて括弧で括る。
　　　
これでいかがですか？

正負の数の理由、理屈（中学一年生の数学）

易しそうで、難しい問題ですね(^^;)

説明はちょっと思いつきませんが。

数学の式で考えずに、お金で考えるとわかりやすいでしょう！つまり

というか「数学が苦手な人が説明するには」ですね。

理屈ではなく、そう云うものだとして覚える方が良いと思います。

Ｘ＋Ｙ＝0

こんにちは

そのような理屈が必要でしょうか？

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング