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P^(-1)APという「かたまり」をm個並べて見れば分かります。
{P^(-1)AP}^m = {P^(-1)AP} {P^(-1)AP} {P^(-1)AP} {P^(-1)AP} … ←全部でm個
PとP^(-1)の積の部分(つまり、ある「かたまり」の最後部と次の「かたまり」の最前部の部分)はEになるので、
結局は、Aがm個残る形になり、{P^(-1)AP}^m = P^(-1)A^mPとなります。
PもP^(-1)もAも正則なら、その積であるP^(-1)APは正則。
で、{P^(-1)AP} {P^(-1)A^(-1)P} = P^(-1)AA^(-1)P =P^(-1)P = E
なので、P^(-1)APの逆行列はP^(-1)A^(-1)Pということになり、式で書くと、{P^(-1)AP}^(-1) = P^(-1)A^(-1)Pとなります。
最後の部分ですが、「X^(-1) = Yを示せ」というのは、「X^(-1)を計算せよ」ということではなく、日本語で書くと、
「Xの逆行列はYであることを示せ」と言っている訳なので、XY=Eを(具体的に計算して)示すことでOKということです。
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