ある値に対して微小量を無視して考えることって、物理ではかなり多いですよね?
そこで質問なのですが、ある値に対して何桁くらい小さい値は近似的に無視しても良いのですか?考える現象によって様々だとは思いますが、三桁くらい小さな値は大概無視できると考えても良いと思いますか?
ご回答宜しくお願いします!<(_ _)>

A 回答 (2件)

簡単に言うと、場合によりけりです(^^;)


ただ、物理の近似で共通している事は、近似する事で意味が無くなる様な近似はしないって事ですね(・o・)ノ
なかなか良い例が思いつきませんが、(1+x)^n を例にしましょう・・・ただし、x は大きさが十分小さい値とします(-_-)
この式は、高校物理の問題で、(1+x)^n≒1+nx という近似式が出てくる場合がありますね(。・ω・。)
(1+x)^n の大まかな(?)値だけが問題ならば、(1+x)^n≒1 としてかまいません(-ω- )
しかし、x の”影響”を知りたければ(xの影響が問題となるならば)、(1+x)^n≒1+nx としなければなりません( ゚A゚)ホゥ
例えば、
(1+x)^n - 1 のだいたいの値でいいならば、(1+x)^n - 1≒0 →しかし、xの影響が問題ならば、これは意味の無い近似になる
(1+x)^n - 1 のx の影響まで考慮すべきならば(したいならば)(1+x)^n - 1≒nx
となります( ,,-` 。´-)ホホォ~
具体的な数の場合も同様です(・д・)ホォー
だいたいの値でよいなら
1/1.01≒1/1.001≒1/1.0001≒1/1.00001≒1/1=1 でかまいませんが、小数点以下の影響が知りたい(問題になる)ならば、
これは、キチンと計算して比較する必要があります(〃・o・)

参考になれば幸いです(^^v)
    • good
    • 0
この回答へのお礼

解決しました

ご回答ありがとうございました!

お礼日時:2017/06/19 20:33

要求される精度から決まります。



たとえば、0.1%(1/1000)程度の精度で計算する場合には、
 x = A/B = 1/100
なら、x は無視できませんが、
 x^2 = (A/B)^2 = 1/10000
は無視してもよいことになります。

これが
 x = C/D = 1/10
なら、無視できるのは
 x^4 = (C/D)^4 = 1/10000
より高次の項ということになります。

計算する精度を 10^(-6) などに変えれば、無視してかまわない次数も変わります。

一般論としては、関数 f(x) は「テイラー展開」できて
 f(x) = f(a) + f'(a)*(x - a) + [ f''(a)/2! ]*(x - a)^2 + [ f'''(a)/3! ]*(x - a)^3 + ・・・
と書けます。(a=0 のときが「マクローリン展開」)
http://eman-physics.net/math/taylor.html
この (x - a) の何次以降を「無視するか」を判断することになります。

これを
 x - a = h → x = a + h
と書いて
 f(a + h) = f(a) + f'(a)*h + [ f''(a)/2! ]*h^2 + [ f'''(a)/3! ]*h^3 + ・・・
の方が考えやすいかもしれません。

h が「極めて」小さいときには、2次以降を無視して
 f(a + h) ≒ f(a) + f'(a)*h
とすることが多いですが、機械的にそうするのではなく、あくまで h の大きさと計算結果の「精度」を考慮して決めるということです。

こんなサイトも参考に。
http://www.ice.tohtech.ac.jp/~nakagawa/taylorexp …
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとう

ご回答ありがとうございました!

お礼日時:2017/06/19 20:34

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q遠心力はなぜ見せかけの力と呼ばれているのですか?

等速円運動をしている物体は、中心方向にrω^2の加速度を持ち、これに質量mをかけた力Fを向心力といいますが、一方でなぜ遠心力は慣性系で見せかけの力といわれているのでしょうか?個人的には、遠心力は見せかけの力などではなく、向心力との力のつり合いや、向心力の反作用のような気がするのですが。また、遠心力が見せかけの力なのであれば、向心力も見せかけの力であると考えますが、向心力はそういう定義ではありませんよね。遠心力は実際に、水の入ったバケツを振り回した際、水がこぼれなくなる力であり、スクーターなどの遠心クラッチや遠心プーリなどは、この原理を応用して、クチッチや、プーリの開閉をしてギア比の調整をしています。

お教えください。以上です。

Aベストアンサー

例え話、置き換えての説明が理解できないと理解できませんが。
実験、縦横10Cm、20cmの板20cm側に低い壁を作り、板の中央にさいころを置きます。
その状態で板全体を等速で引っ張ります(慣性で等速直線運動の再現?)。
その状態で、板を急に手前(引っ張る方向とは直角方向)に引っ張ります(向心力という加速度?)。
サイコロはどうなるか?、自身の慣性で板上でその場にとどまろうとするが板は手前に移動する結果、向こう側の壁にぶち当たる。
でも、板だけを見るのではなく、周囲の環境も含めて観察すれば、板は引っ張られる方向に動きつつ手前に移動します、つまり斜めに移動、この瞬間が連続すると軌跡が円運動になります。
その結果さいころは向こう側の壁に押し付けられ続けます。
最初のさいころの動き、板の上だけ見ているとサイコロが向こう側に動いたと見えます、でもサイコロには何も力は加わっていません、力が加わり動いたのは板です。
全体を見ると?、透明の板でしたが方眼紙のようなメモリがあると、サイコロは当初から引っ張られている方向には移動していますが、こちら側にに向こう側にも、壁に当たるまでは移動していません。
でも確かに壁に当たり、何等かの力?は当然感じます、これが遠心力。
反対方向に進む電車が同時に停車していて片方が動き出したとき、一瞬はどちらが動いたのかは判断できないのと同じ。
つまり物体自身の慣性により動こうとしないのに相手が動く、相対的に物体自身が動いたよう感じる。
等速直線運動はどちらも同じ条件のため、停止状態と等価、ゆえに、相対的に感じる遠心力は向心力と正反対になる。

例え話、置き換えての説明が理解できないと理解できませんが。
実験、縦横10Cm、20cmの板20cm側に低い壁を作り、板の中央にさいころを置きます。
その状態で板全体を等速で引っ張ります(慣性で等速直線運動の再現?)。
その状態で、板を急に手前(引っ張る方向とは直角方向)に引っ張ります(向心力という加速度?)。
サイコロはどうなるか?、自身の慣性で板上でその場にとどまろうとするが板は手前に移動する結果、向こう側の壁にぶち当たる。
でも、板だけを見るのではなく、周囲の環境も含めて観...続きを読む

Q高校物理 慣性力での文字の置き方についての質問です。

滑らかな水平面上に、滑らかな三角形の台があるとします。その上に小球を静かに乗せると、台と小球はともに動き出します。小球が動く地面と平行な方向を変位、速度、加速度が正の方向とする時に、台が加速度bで動き出したとする時の、小球に働く慣性力をどのように図示したらよいか分かりません。
このように台の加速方向が定められていない場合、bは大きさとして扱ってはダメですよね?だから台も正方向に移動するとして、慣性力を書かないといけないのですか?

物理の問題集を解いていると偶に、値が負になる文字が出てくるのですが、その時に、どう対処したらよいのか分からなくなります。これって負の概念について分かっていないということなのでしょうか?ご回答宜しくお願いします!

Aベストアンサー

物理の中で力学に関しては、ベクトル数値と聞きますが。
値が負、例、右に10の加速度、同じ場面で-10の加速度(左に10の加速度)

Q相対性理論とはなんですか? 最近なぜか分かりませんが、相対性理論が流行っていて、話についていけません

相対性理論とはなんですか?
最近なぜか分かりませんが、相対性理論が流行っていて、話についていけません。
僕でも理解できるようにどなたか回答お願い致します。
僕にとって分かりやすかったと思った説明をしてくださった方をVIPに選びますね(^∇^)

Aベストアンサー

私も中学生の頃に読んだ本の知識しかないんだけどね。
ちなみに計算自体は中学生数学でどうにかなる。
だけど、相対性理論で出てくる現象を理解するには、少なくとも高校生レベルの知識が必要になる。
多分君の周りで相対性理論の話題を出している人たちも、現象の半分も理解できていないと思うよ。

さて、じゃあ超簡単にどんなものかと言うと、要するに物理の理論。
細かい事を言い出すとメチャクチャ難解な理論。
で、「特殊相対性理論」と「一般相対性理論」の二つに分かれる。
ちなみに難易度は一般相対性理論の方が高い。

んじゃどんな現象のことかっていうと
特殊相対性理論では
1、光より速く動けるものはない
2、光に近い速度で動いているものの長さは縮んで見える
3、光に近い速度で動いているものの時間は遅く流れる
ってこと。
一般相対性理論は特殊相対性理論に重力を加味したもので
1、重力の強い場所ほど時間が遅く流れる
2、重力の強い場所ほど空間が歪む
3、止まっているものでもエネルギーがあって、重いほどエネルギーが大きい
てなとこ。

これらを様々な数式を使って証明して「ほらね、俺の言った通りでしょ?」っていう話。

でもってこれらの理論によって、宇宙の始まりって言われているビッグバンや、ダイソンの掃除機よりも何でも吸い込んでしまうブラックホールも、さっき挙げた6つのことで説明することができる。
どうやってそれを説明するかって話は、難しい話になるから割愛するし、何より私も説明しきれるほど知らない。

かなり簡単にエッセンスだけを抽出してみた。
とりあえず数式を解くだけなら中学生の数学で解けるけど、理解しようとしたら高校生くらいまで待てって話。

私も中学生の頃に読んだ本の知識しかないんだけどね。
ちなみに計算自体は中学生数学でどうにかなる。
だけど、相対性理論で出てくる現象を理解するには、少なくとも高校生レベルの知識が必要になる。
多分君の周りで相対性理論の話題を出している人たちも、現象の半分も理解できていないと思うよ。

さて、じゃあ超簡単にどんなものかと言うと、要するに物理の理論。
細かい事を言い出すとメチャクチャ難解な理論。
で、「特殊相対性理論」と「一般相対性理論」の二つに分かれる。
ちなみに難易度は一般相対性理...続きを読む

Qなぜ1m+1m=2mなのですか? そう定義したからですか?

なぜ1m+1m=2mなのですか?
そう定義したからですか?

Aベストアンサー

どうも、先の回答は、「有名・著名な原理や法則といえども証明できるものではない」という狭い意味にとらえられてしまうかもしれませんが、文意は「有名・著名なものからごく身近なものまで、すべて原理・法則というものは証明の対象ではない」というものです。

実際、エネルギと質量の交換が行われる局面ではエネルギ保存則、質量保存の法則はそれぞれ単独では成り立たず双方を考慮した修正が行われます。
万有引力の法則も、引力が大きくなると修正(誤差を許容できなくなる)が必要です。

3時間前に時速4kmで出発した弟を、お兄さんが時速16kmの自転車で追いかけるときの追いつく時刻についても、単純な引き算・割り算「ex4×3÷(16-4)」だけでなく、観測者がだれなのかといった視点も含め一般相対論による修正が厳密には必要でしょう。


付言するならば、「算数」という教科は、この世の「自然に受け入れられている身の回りの法則・原理について学ぶ(つべこべ言わずに覚える)教科」であり、「数学」はこの世の法則にとどまらず、厳密な意味での「数の体系」についても学ぶ(厳密性を追求し、証明を求める)教科です。

どうも、先の回答は、「有名・著名な原理や法則といえども証明できるものではない」という狭い意味にとらえられてしまうかもしれませんが、文意は「有名・著名なものからごく身近なものまで、すべて原理・法則というものは証明の対象ではない」というものです。

実際、エネルギと質量の交換が行われる局面ではエネルギ保存則、質量保存の法則はそれぞれ単独では成り立たず双方を考慮した修正が行われます。
万有引力の法則も、引力が大きくなると修正(誤差を許容できなくなる)が必要です。

3時間前に時速4k...続きを読む

Q原子核崩壊でα線やβ、γ線が出るのはわかるのですが、出続けるメカニズムがわかりません。

原子核崩壊でα線やβ線、γ線が出るのはわかるのですが、出続けるメカニズムがわかりません。放射性物質の半減期は何万年もあるものもあります。原子核が崩壊すればそのエネルギーが放射線となって放出されるのはわかるのですが、それは最初の一回だけ起こって、それが起こればもう起こらないのではないですか? つまり放射線も一回だけ出てもう出ない。それがずっと続いているというのは、ずっと原子核崩壊が続いているということなのでしょうか? 放射線が出続けるメカニズムがわかりません。ご教示よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

ある放射能を持つ核種が、単位時間に崩壊する確率は、置かれている環境に左右されません。その核種、固有値であることが経験的に知られています。
確率なので、1つの粒を見ていれば、

・ いつ崩壊するかは神のみぞ知るということで、だれにもわかりません。
・ もちろん、崩壊してしまえば、その粒からは放射線はでません。

ということになります。

その同じ核種を一定量集め、たくさんの粒を統計的に観察し、半分の粒が放射線を出して崩壊するまでの時間を半減期と呼ぶわけです。
たくさんの粒があるから、放射線が出続ける。別に不思議なことはないですね。

半減期ごとに半分になり、やがてすべて崩壊すると、放射線は出なくなります。

Q一般相対論 アインシュタイン方程式を解く

趣味で物理を勉強中です。
これまで幾度か質させていただきます。

専門的に勉強した方からすれば、くだらない質問カモですが。

アインシュタイン方程式を解くことは、

計量、(計量テンソル?) を求めることと同義なんでしょうか?

シュヴァルツシルト計量、ロバートソンウォーカー計量 云々。

なんか今ひとつピンとこないのですが。

Aベストアンサー

>あまりにも理想化されて、単なる数学のお遊びに見えてしまうのです。
という貴方の感覚は、物理学はもちろん、化学・生物学・経済学などに現れる数学モデルを扱う上で、とても貴重なものだと思う。というのも、研究者の中には、理論の美しさに惚れ惚れするあまり、それがどれほど現実を反映したものなのかという肝腎な問題に無頓着な人がしばしばいるのである。超弦理論など、いつもそこを突かれ批判されてきたものだ。経済学などはどうやらもっとひどい状況で、全然経済活動の現状を表現できていないまま、政党や企業の御用学者ばかりが幅を利かしているというように、話には聞くのだが…。
閑話休題。もっとも一般相対論は、先に説明した天文学上の理由で、ほぼ正しいと見なされている理論である。それを一旦は(より正確な理論が現れることも考え、程々に)信じて、教科書を読み進めて頂ければと思う。今はピンとこなくとも、学び続ける内に、心の底から納得することはできずとも、少なくとも妥協ならできるようになるのではないだろうか。

Q第一宇宙速度で真上に打ち上げた場合

第一宇宙速度の約 7.9km/sで物体を水平に発射すると,空気抵抗や地球の自転等の影響を無視すれば地球を約84分で一周して元の場所に戻ってくると聞きました。

ではこの速度で真上に打ち上げた場合,第二宇宙速度の11.2km/sには足りないのでどこかで下降に転じると思うのですが,それは地上何kmでそこまで何分かかるのでしょうか?

Aベストアンサー

第一宇宙速度は、円運動の周速度です。
この速度で、加速度なしで等速運動する場合を考えています。

 宇宙レベルで考えると、「重力加速度」が一定とは考えれらなくなります。実際、#1さんの計算した「高度3100km」は、地球中心からの半径が 6371 + 3100 = 9471 km ということですから、地表の地球半径の約1.5倍で、万有引力の法則から、重力加速度は (1/1.5)^2 ≒ 0.44 つまり地表の半分以下になっています。

 ということで、正確には第二宇宙速度の計算のように「重力場の位置エネルギー」で計算する必要があります。

 無限遠を基準にした「重力場の位置エネルギー」は、地球表面では、地球の半径を R として
  U = -GMm/R
となります。
 同様に、地球中心からの距離を H の宇宙船の位置エネルギーは、
  -∫[∞→H](GMm/r^2)dr
なので、地表の位置エネルギーとの差が「打ち上げ時の運動エネルギー」ということになります。つまり
  -∫[∞→H](GMm/r^2)dr - ( -GMm/R ) = (1/2)mv^2
ということです。これより、
 (1/2)mv^2 = -GMm/H + GMm/R = GMm(1/R - 1/H)
→  GMm/H = GMm/R - (1/2)mv^2
→  1/H = 1/R - (1/2)v^2 /GM
→  H = 1/[ 1/R - (1/2)v^2 /GM ]

あとはこれに数値を入れて、
 R = 6371 km = 6.371 * 10^6 m
 M = 5.972 * 10^24 kg
 G = 6.674 * 10^(-11) m^3kg^(-1)s^(-2)
 v = 7.9 km/s = 7.9 * 10^3 m/s
より

H = 1/[ 1/(6.371 * 10^6 [m]) - (1/2)(7.9 * 10^3 [m/s])^2 / ( 6.674 *10^(-11) * 5.972 * 10^24 [m^3/s^2] )
 ≒ 1/[ 1.570 * 10^(-7) - 0.783 * 10^(-7) ]
 ≒ 1/[ 7.87 * 10^(-8) ]
 ≒ 1.27 * 10^7 (m)
 = 12700 (km)

ということです。地球の半径が 6371 km ですから、これを差し引くと地上からの高さ 6300 km 程度ということで、「地球半径程度の高さ」ということです。
 なお、静止衛星の軌道が地上約 36000 km ですから、これよりはかなり低いです。

第一宇宙速度は、円運動の周速度です。
この速度で、加速度なしで等速運動する場合を考えています。

 宇宙レベルで考えると、「重力加速度」が一定とは考えれらなくなります。実際、#1さんの計算した「高度3100km」は、地球中心からの半径が 6371 + 3100 = 9471 km ということですから、地表の地球半径の約1.5倍で、万有引力の法則から、重力加速度は (1/1.5)^2 ≒ 0.44 つまり地表の半分以下になっています。

 ということで、正確には第二宇宙速度の計算のように「重力場の位置エネルギー」で計算する必要があ...続きを読む

Qこの問題の(2)でエネルギー保存則を使って求められないのは何故ですか? 気体のした仕事=バネのエネル

この問題の(2)でエネルギー保存則を使って求められないのは何故ですか?
気体のした仕事=バネのエネルギー+ピストンの位置エネルギーとしたのですが
これに外に放出した分のエネルギーを入れないといけませんか?

Aベストアンサー

>この問題の(2)でエネルギー保存則を使って求められないのは何故ですか?
気体のした仕事=バネのエネルギー+ピストンの位置エネルギーとしたのですが
これに外に放出した分のエネルギーを入れないといけませんか?

シリンダ内部の気体が直接仕事をしているのはピストンだけです。
ピストンが気体から受けた仕事は次のように使われます。
・ピストンの位置エネルギーの増加
・バネの弾性エネルギーの増加
・外部大気にした仕事
質問者は3番目の外部の大気にした仕事を無視しています。大気の圧力は一定であるため、外部大気にした仕事は
大気圧×ピストンの面積×移動距離
で計算できます。

Qドップラー効果の問題を公式を使わずに解けないでしょうか。

音源の振動数が400ヘルツ、音速が340m/s、音源は人に向かって40m/s、人は音源から10m/sで遠ざかっています。この時、音源が4秒間だけ音を出したとすると、人は何秒間その音を聞くか?

という問題です。答えは波の数を使って3.6秒間と出しているのですが、ドップラー効果の式を使わずに解いてみたら3.9秒で間違っていました。音速は音源の速さに依らないので、中学受験の算数のように、音波の存在範囲のようなものを電車の長さと同じように捉えて、それが人の耳を通過する時間、という考えを使ったつもりです。考え方がむちゃくちゃかも知れませんが、おかしい所を指摘していただけないでしょうか。

1.人がもし静止していたら、4[s]×340[m/s] = 1360[m] の範囲の音波を受け取る。
2.でも人は音源の反対方向に10[m/s]で移動しているので、人が受け取る音波の範囲は、
  1360 - 40 = 1320[m]。
3.1320[m]の範囲の音波が人を通過する時間は、音速で割って、
  1320[m] / 340[m/s] = 3.88[s]。

音源の振動数が400ヘルツ、音速が340m/s、音源は人に向かって40m/s、人は音源から10m/sで遠ざかっています。この時、音源が4秒間だけ音を出したとすると、人は何秒間その音を聞くか?

という問題です。答えは波の数を使って3.6秒間と出しているのですが、ドップラー効果の式を使わずに解いてみたら3.9秒で間違っていました。音速は音源の速さに依らないので、中学受験の算数のように、音波の存在範囲のようなものを電車の長さと同じように捉えて、それが人の耳を通過する時間、という考えを使ったつもりです。...続きを読む

Aベストアンサー

空気が静止している座標で考えないと。

2で、音源は 40 m/s で動き、4秒間音を出すので、
波束の長さは 340x4-40x4=1360-160=1200 m
3で、波束と人の速度差は 340-10=330 m/s

1200/330=3.64 s

Q単位体積とは、1立方メートルのことなのでしょうか。それとも、1立方センチメートルのことなのでしょうか

単位体積とは、1立方メートルのことなのでしょうか。それとも、1立方センチメートルのことなのでしょうか。
申し訳ございませんが、わかる方回答お願いします。

Aベストアンサー

どちらでもよいです。通常は「単位」に現れます。

「1立方メートルあたりの重さ」なら「○○ kg/m³」「○○ ton/m³」
「1立方センチメートルあたりの重さ」なら「○○ g/cm³」「○○ mg/cm³」

など。

物理学では、いちいちそれを宣言するのが面倒なので、「重さはkg」「長さはメートル」で統一することになっていますので、特にことわっていなければ「○○ kg/m³」です。

一般の日常やビジネスでは「何でもあり」ですから、きちんと「ことわる、宣言する、定義する」ことと、きちんと「単位」を明記することが必要です。
石油などは「1バーレルあたり」などという単位を使いますね。(1バーレル=樽1杯)


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング

おすすめ情報