以前の質問「円周率は無理数なので無限に循環することはないですが、有限回で終わるループならある可能性

Question

以前の質問

「円周率は無理数なので無限に循環することはないですが、有限回で終わるループならある可能性はありますか？
例えば
有理数　1/7は0.142857 142857...と無限に循環しますが
無理数がたまたま数回だけループして0.142857 142857 3195634918...などとなる可能性もあります
だから
円周率でも何兆、何京桁と調べていけばこういうループは見つかる可能性がありますか？」

に対して、「不明としか言いようがない」との回答をいただきました。

しかし、円周率は定数なので、確定しないとは考えられないと思いました。

現在では証明できないという意味で不明とおっしゃった場合、そうなる確率だけ求めることは可能ですか？

質問は説明不足でしたが、数列のどこかに繰り返しではなく、初めの連続した2ブロック以上が同じ列であるということです
(0.123123...は良いが0.0123123...はなし)

また、円周率が完全にランダムであることはまだ証明されていませんが、ランダムであると仮定して話を進めてください

ループを確かめる手順は
まず円周率の初めは3.1です。
もし次が1で3.11ならば、1桁のループが成立するが、実際には3.14なので次を見る。3.1414だったら2桁のループが成立するが、実際には3.1415だから成り立たない。
1桁目と4桁目が違うので3桁のループはない。次を見て3.14151415の場合、4桁のループだがそれも違う。これをループができるまで無限に見ていく
チャンスを逃す度、次にループができる確率は天文学的に下がっていきますが、それでも決して0にはなりません。ならばいつかループが起こるか、ということです

tumagie · Accepted Answer

＞円周率は定数なので、確定しないとは考えられない
おっしゃるとおりです. なので, 確率は0か1のどちらかです. どちらなのかは, 恐らくまだ誰にも証明されていないでしょう.
その上で, 質問者の方が気にしていることは, 恐らく次の問題ではないかと推察します:
「r を 0≦r<1 の範囲の一様乱数とする. r において "ループが見つかる" 可能性はいくらか.」
(注: 小数を十進展開する際, 「0.6768000...=0.6767999...」のように 2 通りに表せるケースがあります. このような場合, 前者の表し方だとループがなく, 後者の表し方だとループがあることになります. しかし, r がこのように 2 通りに表せる確率は 0 なので, このようなケースについて気にする必要はありません.)

この問題について考えてみたのですが, 結論からいうとよくわかりませんでした.

r は一様乱数なので, 任意の正整数 n に対し, 小数第 n 位が 0, 1, ..., 9 である確率は 1/10 です.
【1 桁のループが成立する確率】
小数第 1 位 = 小数第 2 位 となればよいので, 1/10 × 1/10 × 10 = 1/10
【2 桁のループが成立する確率】
小数第 1 位 = 小数第 3 位, 小数第 2 位 = 小数第 4 位 となればよいので, 1/100
…
と考えていくと, n 桁のループが成立する確率は 1/10^n です.
これを n=1,2,3,..., と単純に無限に足し合わせていくと 1/9 になります. しかし, 例えば「2桁のループと5桁のループが両方成立している」といった可能性もあるので,  "ループが見つかる" 確率は 1/9 よりは小さいことになります. が, 厳密な値を求めるのはちょっと面倒そうな気がしました. (勘違いかもしれません.)

funoe · Answer

円周率を10進表示したとき、「７」が1万個連続して出現することはあるか？
　→不明としか言いようがない。確率は１かしら？

円周率を10進表示したとき、小数1桁目からｎ桁目と、n+1桁目から2n桁目が一致するようなｎはあるか？
　→不明としか言いようがない。
　　任意の無理数ならもしかして11.1％？　
　　でも、πはかなりの桁数まで知られているからねぇ・・・、限りなくゼロでは？

円周率を２進表示したとき、小数1桁目からｎ桁目と、n+1桁目から2n桁目が一致するようなｎはあるか？
　→ある。n=1．　π＝11.001・・・

以上、無知な素人の単なるツブヤキです。

fxq11011 · Answer

ランダムって何？。
同じ並びがあったらいけないの？。
日本語の無作為と似たものとすれば、偶然も無作為ですよ。
無限・・を持ち出せば、なんでもあり、というより否定は不可能ですよ、悪魔の証明と同じです。
考え方によれば無限＝なし、いう考え方もあります。

rabbit_cat · Answer

前回の質問はこれですかね。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9787699.html

>質問は説明不足でしたが、数列のどこかに繰り返しではなく、初めの連続した2ブロック以上が同じ列であるということです
>(0.123123...は良いが0.0123123...はなし)
なるほど、そういう意味ですか。

＞円周率が完全にランダムであることはまだ証明されていませんが、ランダムであると仮定して話を進めてください
ランダム数列であるなら、仰るようなループができる確率は１ですね。

円周率という特定の数にループがあるかどうかは不明です。

mapascal · Answer

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87

以前の質問 「円周率は無理数なので無限に循環することはないですが、有限回で終わるループならある可能性

＞円周率は定数なので、確定しないとは考えられない

円周率を10進表示したとき、「７」が1万個連続して出現することはあるか？

ランダムって何？。

前回の質問はこれですかね。

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