この問題の5+6Σ（k+1)^2のところってカッコ内を展開して計算しても1/6n(n+1)(2n+1

この問題の5+6Σ（k+1)^2のところってカッコ内を展開して計算しても1/6n(n+1)(2n+1)-1になりますか？

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/04 20:23

大学1年生の別解を参考のした高校生の解法は、

Σ［k:1→nー1］(k+1)k +Σ［k:1→nー1］(k+1)
=(1/3)Σ｛ (k+2)(k+1)kー(k+1)k(kー1)｝ ［k:1→nー1］
+(1/2) ｛ (k+2)(k+1)ー(k+1)k｝ ［k:1→nー1］
部分分数分解と同じように、真ん中が、相殺されるので、
=(1/3)(n+1)n(nー1)ー0
+(1/2)｛(n+1)nー2・1｝
=(1/6)n(n+1)｛ 2(nー1)+3｝ー(1/2)・2
=(1/6)n(n+1)(2n+1)ー1

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/04 18:47

実際に計算してみましょう！

Σ［k:1→nー1］k^2 +Σ［k:1→nー1］k+Σ［k:1→nー1］1
=(1/6)(nー1)n｛2(nー1)+1｝+(nー1)n +(nー1)
=(n/6) (nー1)(2nー1) +n^2 ー1
=(n/6)(2n^2ー3n+1) +(n/6)・6n ー1
=(n/6)(2n^2 +3n +1) ー1
=(1/6)n(n+1)(2n+1) ー1

大学1年生の別解
Σ［k:1→nー1］(k+1)^2
=Σ［k:1→nー1］(k+1)・k +Σ［k:1→nー1］(k+1)
=⊿-1 (k+1) 〔2〕+⊿-1 (k+1) 〔1〕 【1…nー1+1】
和分して
(1/3)(k+1) 〔3〕+(1/2)(k+1)〔2〕【1…n】
=(1/3)(k+1)k(kー1)+(1/2)(k+1)k 【1…n】
=(1/6)(n+1)n｛2(nー1)+3｝ー(1/2)(1+1)・1
=(1/6)n(n+1)(2n+1) ー1
参考まで！

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2017/08/04 12:10

No.3です。

まさか、

1^2 + 2^2 + 3^2 + ･･･ + n^2
= Σ[k=1～n]k^2
= (1/6)n(n+1)(2n+1)

の公式を知らない、ということはないよね？

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suure …

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/08/04 11:54

なるよ

展開するとΣk²+2Σk+Σ

各項目毎に公式を当てはめて計算する。

ただしk=1～nでは無くて、k=1～(n-1)である事に注意する。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2017/08/04 11:49

そこの「右の吹き出し」にちゃんと解説が書いてあるでしょう？

なんで、また訊くのかね？　一体、何が分からない？

Σ[k=1～n-1](k+1)^2

は、個別に書き出せば
　2^2 + 3^2 + ･･･ + n^2
なので
　(1^2 + 2^2 + 3^2 + ･･･ + n^2) - 1
です。「１の項がない」ということ。

そこで、１の項があれば
1^2 + 2^2 + 3^2 + ･･･ + n^2 = Σ[k=1～n]k^2
= (1/6)n(n+1)(2n+1)
ですよね？

No.2 回答者： GBde 回答日時： 2017/08/04 11:47

http://www.wolframalpha.com/input/?i=RSolve%5B%7 …

No.1 回答者： GBde 回答日時： 2017/08/04 11:44

1/6 (n-1) (2 n^2+5 n+6)=(1/6)n(n+1)(2n+1)-1