これは必要条件なのですか？

2次導関数を"を用いて記述することにします。
また、見やすさのため式の一部にスペースを含んでいることをご容赦ください。

X"(x)/X(x) + Y"(y)/Y(y) + α^2 = 0
という微分方程式を考えるとき、

X"(x)/X(x) = -p^2
Y"(y)/Y(y) = -q^2

が成り立つことが「必要である」。という記述が教科書内にあるのですが、これは本当ですか？

物理の教科書内(2次元波動方程式を解く過程)の記述なのですが、上記は数学的な意味での「必要条件」ですか？

それぞれの項が定数である必然性が分からないのですが…。
(物理的な意味を考えれば(1次元波動方程式の類推として考えれば)、なんとなく分かりますが、数学的に意味があれば知りたいです。)

宜しくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2017/09/08 19:12

「α²=p²+q²かつ、X''/X=−p²,Y''/Y=−q²」ならば「X''/X + Y''/Y+α²=0」は成立します。

つまり、
「α²=p²+q²かつ、X''/X=−p²,Y''/Y=−q²」
は、「X''/X + Y''/Y+α²=0」が成り立つための十分条件です。
しかし、
X''/X=1>0　　（１）
Y''/Y=−1−α²<0
であっても、
X''/X+Y''/Y+α²=1+(−1−α²)+α²=0
は成立するので、「α²=p²+q²かつ、X''/X=−p²,Y''/Y=−q²」は「X''/X + Y''/Y+α²=0」が成り立つための必要条件ではありません。

ですから、（１）式を解いた
X=C₁e^x+C₂e^(−x)
も解として持ちえます

この回答へのお礼

ありがとうございます。
良くわかりました。

お礼日時：2017/09/09 00:00

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/09/08 19:09

f(x)+g(y)=C

で、xとyが完全に独立なら、つまり任意にxとyを選んで代入しても常に
等式が成り立つなら、fとgは常に同じ値を返す関数でなければ
なりません。

例えばx=0としてyを自由に変えたときでも等式が成立つことを考えると
gが定数を返す関数であることは明らかでしょう。

この条件を満たさないf.、gは等式を満たさないので
この条件は必要条件です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2017/09/08 23:59

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/09/08 04:04

微分方程式

X"(x)/X(x) + Y"(y)/Y(y) + α^2 = 0
を整理すると
X"(x)/X(x) = -Y"(y)/Y(y) - α^2
となって左辺は x だけの式, 右辺は y だけの式だから結局定数でないといけない.

この回答へのお礼

移項すれば定数性は当たり前でしたね…。
ありがとうございます。

お礼日時：2017/09/08 23:59