2次導関数を"を用いて記述することにします。
また、見やすさのため式の一部にスペースを含んでいることをご容赦ください。
X"(x)/X(x) + Y"(y)/Y(y) + α^2 = 0
という微分方程式を考えるとき、
X"(x)/X(x) = -p^2
Y"(y)/Y(y) = -q^2
が成り立つことが「必要である」。という記述が教科書内にあるのですが、これは本当ですか?
物理の教科書内(2次元波動方程式を解く過程)の記述なのですが、上記は数学的な意味での「必要条件」ですか?
それぞれの項が定数である必然性が分からないのですが…。
(物理的な意味を考えれば(1次元波動方程式の類推として考えれば)、なんとなく分かりますが、数学的に意味があれば知りたいです。)
宜しくお願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
「α²=p²+q²かつ、X''/X=−p²,Y''/Y=−q²」ならば「X''/X + Y''/Y+α²=0」は成立します。
つまり、
「α²=p²+q²かつ、X''/X=−p²,Y''/Y=−q²」
は、「X''/X + Y''/Y+α²=0」が成り立つための十分条件です。
しかし、
X''/X=1>0 (1)
Y''/Y=−1−α²<0
であっても、
X''/X+Y''/Y+α²=1+(−1−α²)+α²=0
は成立するので、「α²=p²+q²かつ、X''/X=−p²,Y''/Y=−q²」は「X''/X + Y''/Y+α²=0」が成り立つための必要条件ではありません。
ですから、(1)式を解いた
X=C₁e^x+C₂e^(−x)
も解として持ちえます
No.2
- 回答日時:
f(x)+g(y)=C
で、xとyが完全に独立なら、つまり任意にxとyを選んで代入しても常に
等式が成り立つなら、fとgは常に同じ値を返す関数でなければ
なりません。
例えばx=0としてyを自由に変えたときでも等式が成立つことを考えると
gが定数を返す関数であることは明らかでしょう。
この条件を満たさないf.、gは等式を満たさないので
この条件は必要条件です。
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