黒と白の碁石がx:yの割合で合計10000個壺の中に入っている。この中から無造作に10個取り出したら

黒と白の碁石がx:yの割合で合計10000個壺の中に入っている。この中から無造作に10個取り出したら3個が黒石だった。黒石はいくつ入ってたか？
答えが3000プラスマイナス2840になるのですが何故そうなるのかわかりません。わかるかた教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/09/14 07:53

統計のz検定とかt検定とかを使って、サンプルから母集団を推計する方法を使っている。

多くの場面で使われる手法。

白石を0、黒石を1と置いて、10個中1が3個だったら、10000個中で1が幾つ有るかを推計する。

10個のサンプルでは
平均：0.3
標準偏差:0.458258
サンプル数：10

これを元に母集団を推計すると
0.3±1.96×標準偏差/√10となる。

計算すると
0.3±1.96×標準偏差/√10＝0.3±0.2840

母集団は10000個だから,上を掛け算すると
3000±2840

ってな具合で推計出来る。

この回答へのお礼

標準偏差はどのように求めたのですか?

お礼日時：2017/09/14 08:43

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/09/14 11:03

黒の割合：x/(x + y) = p

白の割合：y/(x + y) = 1 - p

で、１万個から10個取り出すので、近似的にこの比率が変わらないと考えれば、この試行結果が「二項分布」に従うことはわかりますか？
つまり、n 個取り出して、黒が k 個の確率は
　P(n, k) = nCk * p^k * (1 - p)^(n - k)

今回は、現実にサンプルをとったら
　サンプル 10 個中、黒 ３個
つまり「3/10 が黒」だったということです。
このサンプルからすると p = 3/10 ですが、別な「10個サンプル」を取ったら、黒は４個だったり５個だったり２個だったり、いろいろばらつくでしょう。

二項分布では、理論的には
　期待値：E = np
　分散　：V = np(1 - p)
となることが分かっていますから、 p = 3/10 のときの理論上のばらつきは計算できます。

つまり、10個取り出したときの黒の個数：
　期待値：E = 10 * 3/10 = 3　←これが試行結果。こうなるように p を決めた。
　分散　：V = 10 * 3/10 * 7/10 = 2.1　←これがばらつきの推定値
従って、標準偏差の推定値は
　σ = √V ≒ 1.449
です。

仮に「10個サンプル」を多数回採取したら、その結果の「黒の個数」は「正規分布する」ことになるので、「10個サンプル」の黒の数の「95%信頼区間」（の推定値）は
　　期待値 ± 1.96σ　　　①
となります。（質問には書かれていませんが、通常使われる「95%信頼区間」「有意水準5%」だと解釈しました）

（注）①は「正規分布」の特性です。
　ご承知とは思いますが、「正規分布」とは、平均値をピークに、左右対称にダラ下がりの分布です。
　このとき、標準偏差を「σ」として、
　　平均値± σ　の範囲に、全体の度数の 68.3% が入る
　　平均値±2σ　の範囲に、全体の度数の 95.4% が入る
　　平均値±3σ　の範囲に、全体の度数の 99.7% が入る
という特性があります。
http://www.stat.go.jp/koukou/howto/process/p4_3_ …

　これを、σ側ではなく「全体の○○%」の方を基準にした言い方にすると
　　平均値± 1.65σ　の範囲に、全体の度数の 90.0% が入る
　　平均値± 1.96σ　の範囲に、全体の度数の 95.0% が入る
　　平均値± 2.57σ　の範囲に、全体の度数の 99.0% が入る
ということになります。
　上記では、この「95.0%」の範囲を使いました。


　ということで、「10個サンプル」のうちの黒の個数の「95%信頼区間」は
　　3 ± 1.449*1.96 = 3 ± 2.840
となります。
　これから「10000個」を推定すれば、黒の数の「95%信頼区間」は
　　3000 ± 2840 個
ということになります。
　これは、「95%の的中率で、壺の中には黒が 160～5840個あると言える」ということです。あまり的確な予測になっていなのは、サンプルが 10個、しかも1回だけと少ないからです。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2017/09/14 12:49

「無造作」って、どういう意味でしょうかね。

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/09/14 13:07

>>標準偏差はどのように求めたのですか?

サンプルは、0,0,0,0,0,0,0,1,1,1 の10個だから平均=0.3

分散={(0-0.3)²+(0-0.3)²…(1-0.3)²+(1-0.3)²+(1-0.3)²}/10=0.21
標準偏差=√分散=√0.21=0.458258