数学 二項定理について 二項定理を証明(教科書にのっているようなもの)するときに順列ではなく組み合わ

数学 二項定理について

二項定理を証明(教科書にのっているようなもの)するときに順列ではなく組み合わせを用いる理由を教えて下さい。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ji6 回答日時： 2017/09/19 21:46

展開におけるある項の係数は、項の文字を選ぶ方法の数が係数になるから、組み合わせを用いて表すことができます。

(a+b)^3 の展開を考えましょう。

(a+b)(a+b)(a+b) を展開すると、aaa , aab , abb , bbb の項ができます。

aaa の項は、３つの( )から a を３つ選ぶ方法の数だけ 同類項ができます。
これが aaa の係数になります。よって、aaa の係数は 3C3(=3C0)

aab の項は、３つの( )から a を2つ , bを1つ選ぶ方法の数だけ 同類項ができます。
これが aab の係数になります。よって、aab の係数は 3C2(=3C1)

abb の項は、３つの( )から a を1つ , bを2つ選ぶ方法の数だけ 同類項ができます。
これが abb の係数になります。よって、abb の係数は 3C1(=3C2)

bbb の項は、３つの( )から b を３つ選ぶ方法の数だけ 同類項ができます。
これが bbb の係数になります。よって、bbb の係数は 3C0(=3C3)

したがって、
(a+b)^3=3C3aaa+3C2aab+3C1abb+3C0bbb
=aaa+3aab+3abb+bbb

あるいは
(a+b)^3=3C03aaa+3C1aab+3C2abb+3C3bbb
=aaa+3aab+3abb+bbb

(a+b)^n も同様です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2017/09/22 22:37