ステップ関数のラプラス逆変換

ステップ関数のラプラス逆変換を、添付画像の通りに計算しました。

ところが、この式に従って Excel で
f = -100 Hz から 100 Hz まで 0.1 Hz ステップ
で離散の積分計算させると、波形はステップ関数のような時間波形になるのですが、
なぜか 0.5 に収束してしまいます。

数式展開を、どこか間違えてしまったでしょうか。

質問者からの補足コメント

• 御回答ありがとうございます。
  
  今回、周波数成分のステップ応答への寄与度を調べたいと思っています。
  すなわち、積分区間を ±1 Hz, ±10 Hz, ±100Hz のように、高周波成分を徐々に追加した時に、
  f(t) の時間波形が、どのようにステップ関数に漸近していくかを調べたいと思っています。
  
  この為に、数学的な式変形で 1 を出すのではなくて、最後に離散積分する式形で残しておきたいです。
  
  実は御指摘の留数定理については詳しくなく、
  荒木光彦『古典制御理論』2.5.5 において、ラプラス積分の収束座標が負の場合は、s = i ω とする事でラプラス変換とフーリエ変換が等価になる
  と記載されており、それを鵜呑みにして積分区間も ±iωを使いました。
  これが誤りだったんでしょうか。
  
  正直、数学は苦手でして、しっかり理解できておりません。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/09/30 14:54

• ご回答ありがとうございます。
  
  添付の図の通り式変形をして数値積分した所、質問前は 0.5 に収束していた時間波形が 1 に収束するようにはなったのですが、ちょっと腑に落ちません。
  
  今の式形だと、周波数∞までの積分区間で数値計算するなら問題ないのですが、例えば周波数 1 rad/s 以内のような、低周波成分だけ含むような数値積分をしても、定数項としての 1/2 が現れてしまいます。
  どんな低周波成分でも、いきなり 1/2 が出力されるのは、物理的に不自然で、当初の目的であった時間波形の応答時定数を評価する事もできません。
  
  まだ何か、式変形でマズイ所があるのでしょうか。

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/10/02 20:07

• 添付図の青色の波形が、最初に質問した時点での数式に従って数値積分した結果です。
  赤色の波形が、回答 No.2 に補足した数式に従って数値積分した結果です。
  積分区間は、（+0 ～ ∞ではなくて）+0 ～ 40 Hz までを 2000 区間に分割して数値積分しました。
  
  40 Hz 以上の高周波を除外しているので、立ち上がりは緩やかですが、
  時間が経過するにつれ収束していく様子が見られます。
  
  青色の波形は、なぜだか 0.5 に収束するというのが、当初の疑問でした。
  
  赤色の波形は 1 に収束しますが、時刻 0 において f(0) = 0.5 となります。
  これは、40 Hz 以上の高周波を除外して周波数積分したはずなのに、
  時間波形に高周波成分が半分残ってしまっている事を意味しています。
  
  なぜだろうか、どこか間違えただろうか、というのが今の疑問です。

  
  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/10/03 21:45

• すいません、やっぱり少し分からないので教えて下さい。
  
  元々はステップ関数を t < 0 で 0, t >= 0 において 1 と定義していたのに、
  いつの間にか t = 0 で 0.5 になってしまいました。
  
  なぜ、こうなったのか、やっぱり分かりません。
  教えて頂けないでしょうか。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/10/04 08:06

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/09/30 20:20

＞ラプラス積分の収束座標が負の場合は、s = i ω とする事で

＞ラプラス変換とフーリエ変換が等価になる

正しいです。ご質問では収束座標は負ではないですよね。
ポールを避けて積分しないといけないのです。

数値計算でやりたければ、複素平面上での積分を、極を包むような
周回積分に直して計算すればOKです。

留数をコーシーの積分定理で計算することになります。

詳細はラプラス変換か複素関数論の書籍を見たほうが早いでしょう。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。アドバイスを参考に、自分なりに勉強して式変形してみたのですが、補足に書きました通り、まだ少し腑に落ちない部分があります。お手数ですが、もう一度アドバイス頂けないでしょうか。

お礼日時：2017/10/02 20:09

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/10/03 23:54

「ステップ関数」というのは

t < 0 なら 0, t ≧ 0 なら 1
というステップ関数でいい?

もしそうなら, そのフーリエ級数の t=0 における値は 0.5 です. この 0.5 が残っているのではありませんか?

この回答へのお礼

御回答ありがとうございます。

頂いた御回答と、こちらのサイトも参考にしつつ、少し分かって来ました。
http://itchyny.hatenablog.com/entry/20120726/134 …

ステップ関数は、直流成分 1/2 を基準として、
t < 0 で - 1/2, t = 0 で 0, t > 0 で 1/2 を取るような符号関数を重ね合わせたもの、
と考えれば良いのですね。
グラフを t < 0 の部分に拡張したら、なるほど t = 0 を境に左右対称になりました。

そして時刻 t < 0 で -1, t > 0 で 1 になるようなステップ関数を考えれば、
直流成分は 0 になると。

ありがとうございました。

お礼日時：2017/10/04 07:44

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/10/03 13:57

あれ? なんか引っかかるな.

まず, 質問の文章に「ステップ関数」とあるんですが, 具体的にはどのようなステップ関数を扱っているのでしょうか?

そして, 「なぜか 0.5 に収束してしまいます」というのはどの時刻でのことでしょうか? どの時刻においても 0.5 (という定数関数) に収束するのでしょうか? それとも, 特定の時刻において本来期待していなかった 0.5 という値に収束しているのでしょうか?

この回答へのお礼

ご返答ありがとうございます。
先ほど、補足を記述しましたが、伝わりましたでしょうか？

お礼日時：2017/10/03 21:50

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/10/03 12:36

まず、最後の式の 1/2 に続く積分は t にかかわらず

1/2 になるようなので正しそう。

で、原点をよける積分経路の意味 というのは
難しそうですね。私も良く解らんです。

もし、ローパスのステップ応答をしらベたいなら
バターワースとかの伝達関数にステップを食わせる方が
良いような気がします。

この回答へのお礼

お忙しい中ご検討くださり、ありがとうございました。

フィルタを使うと、どうしてもゲインや位相が徐々に変化してしまい、部分的な影響が残ってしまいます。
周波数積分を使って、積分区間でバッサリ除外すれば、境界の周波数から先はゲイン 0 （- ∞）と等価になるので、
影響を完全にシャットアウトできる、と目論見ました。

ちょっと上手くいかなかったですが。

しかし勉強になりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2017/10/03 21:23

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/09/30 14:20

逆変換の定義が違います。

積分路は -iω~iωではなく
-iω+r~iω+r ですよね。rは実数でRe(s)>r でF(s)が正則になる
ように決めます。

積分は複素関数論で「留数定理」を使えば直ちに 1が得られます。

この辺をご存じなければ、予備知識として先に仕入れておきましょう。
話がとても簡単になります。

この回答へのお礼

御回答ありがとうございます。
補足で書かせて頂いたんですが、目的を達成する為の上手い式変形が、まだちょっと分かってません。

お礼日時：2017/09/30 17:54