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複素解析の本に
『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』
とか
『体Cの同型で部分体Rの元を動かさないものはα→α(つまりなにも動かさぬ同型)とこの共役に限る』
とあるんですが、『同型』という言葉の定義について何も書いてありません。

同型とはなんですか?

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A 回答 (8件)

2つの体KとLが同型というのは、


KとLが同じ構造をしている
ということで、ぶっちゃけた話
KとLは同じものだと思ってもさしつかえないよ
ということです。
(これは私の同型というものに対するイメージです。)

厳密には、
2つの体KとLが同型というのは、KからLへの同型写像がある
というもので、同型写像とは
全単射な準同型写像
のことです。
KからLへの準同型写像とは
任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)
を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。

例を1つ。
R^2={(x,y)| x,yは実数}と複素数体Cは同型です。
R^2からCへの写像fを
f(x,y)=x+iy (iは虚数単位)
と定めるとfは同型写像になるからです。
R^2とCは同型なのですから
R^2とCはほとんど同じものだと考えてよいことになります。

また、自分から自分への(つまりCからCとか)の同型写像を
自己同型写像、あるいは略して自己同型といいます。
f(x+iy)=x-iy というある複素数をその共役に写すという写像fは
自己同型写像になりますよ、というのが
>『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』
の述べていることです。

詳しく知りたいのでしたら代数学の本をひもとく必要がありますが、
そこを理解しないと先へ進めないということもないでしょうから、
(というのは質問にある『体Cの同型でうんぬんなんてのは
複素解析を学ぶ上でははっきり言ってどうでもいいことだからです)
頭の片隅にでも残しておいて飛ばしてもいいと思いますよ。

この回答への補足

> また、自分から自分への(つまりCからCとか)の同型写像を
> 自己同型写像、あるいは略して自己同型といいます。
> f(x+iy)=x-iy というある複素数をその共役に写すという写像fは
> 自己同型写像になりますよ、というのが
> >『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』
> の述べていることです。

これが分かりません。「自分から自分へ」の自分ってどのレベルの話ですか?
たとえば複素数 z=x+iy があって、これを自分自身(つまりz=x+iy)に移すよ、って考えちゃうと
当然複素数からその共役へうつす変換は同型とは言えなくなっちゃう。
ってことは「自分」ってのは z=x+iy とかいうレベルじゃなくて、複素数体、実数体、有理数体、とか
そういうレベルの話ですか?

でもそうすると

> KからLへの準同型写像とは
> 任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)
> を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。

を満たしていれば、すでにそれは自己同型のような気がするのですが。
私は何を勘違いしているのでしょう?

補足日時:2001/07/07 11:45
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>『体KからLへの写像Tがあって任意のa,b∈Kについて


>    T(a + b) = T(a) + T(b)
>    T(ab) = T(a)T(b)
>が成り立つ時、写像TをK→Lの準同型写像(または単に準同型)であると
>言う。

>準同型写像Tが全単射な写像の時、Tを同型写像(または単に同型)であると
>言う。

>Tが体K→Kの同型写像の時、Tを自己同型写像(または単に自己同型)と
>言う。』

>こんな感じですか?

定義はそれでOKです。

それにしても社会人の方で、数学に興味を持たれて勉強されている
とは、感服いたします。しかも抽象数学ですからハードルは高いし。
がんばってください。
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この回答へのお礼

やっとたどり着けました。
質問の仕方も難しいですね。

ありがとうございました。

お礼日時:2001/07/09 17:36

>1対1と全単射とは同値でしたっけ?ontoって何ですか?



用語をまとめておきます。
1対1写像(one to one)=単射(injective)
上への写像(onto)=全射(surjective)
全単射=全射かつ単射

>『C→Cの写像Tがあって任意のz,w∈Cについて
>    T(z + w) = T(z) + T(w)
>    T(zw) = T(z)T(w)
>が成り立つ時、写像TをC上の同型写像(または単に同型)であると言う。

これは単なる準同型写像の定義でしょう。
同型写像ではないと思いますが。

>特にz',w'∈Cについて
>    T(z + w) = T(z') + T(w')
>    T(zw) = T(z')T(w')
>ならば
>    z' = z
>    w' = w
>である時、写像TをC上の自己同型写像(または単に自己同型)と言う。』

同型と自己同型の違いは、写像元と写像先が違うか同じかです。
f:X→YでX≠Yなら単なる同型写像で、f:X→Xなら自己同型写像です。
上で述べられているのは、同型でも自己同型でもないと思います。

taropooさんは数学科1回生ですよね。体の自己同型などの抽象代数学は
まだ習ってないですよね。代数というとまだ線型代数だけで。
shushouさんがおっしゃるように、体の自己同型云々は読み飛ばしても
いいかと思います。たぶん理解が大変なのでは?
私も1回生の頃はわからなかったですから。

この回答への補足

> taropooさんは数学科1回生ですよね。

違います。30前の社会人です。数学は興味でやってます。

しきりなおしまして、

『体KからLへの写像Tがあって任意のa,b∈Kについて
    T(a + b) = T(a) + T(b)
    T(ab) = T(a)T(b)
が成り立つ時、写像TをK→Lの準同型写像(または単に準同型)であると言う。

準同型写像Tが全単射な写像の時、Tを同型写像(または単に同型)であると言う。

Tが体K→Kの同型写像の時、Tを自己同型写像(または単に自己同型)と言う。』

こんな感じですか?

補足日時:2001/07/09 13:37
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 同型の基本的な考え方はある集合に入っている構造が保たれているということです(それだけだと準同型)。

つまり、構造も保たれて、なおかつ、写された元と先のすべての元の間にちゃんと対応関係があるというのが同型です(ある一部分ではなく集合全体とて同じだということです)。
(たとえば、共役をとって全体をz0(定数)倍するとかでも同型ですが、
 実数体に実数部分だけをとって写すというのは準同型です。)

 その場合その対応を与える写像fを用いれば、一方の(構造をもった)集合に対して(その構造による)ある性質pが見出されれれば、その写像fからpをその対応させている集合の言葉に直して、つまりf(p)のようなこと(具体的にどうこういうわけではなく、そう言うふうに対応関係ある集合であれば、性質についても対応関係によって言いかえることができるはずという主張です)を考えて他の集合についても同じことが言えます。
 複素平面の場合は虚数単位の取り方に恣意性があり±sqrt(-1)のどちらを虚数単位にとってもいい(つまり、性質が変わらない)ので、一方からもう一方に対応関係をいれて写しても、一方で言えたことがもう一方でも言えるということを言っているのだ思います。

この回答への補足

理解しました(つもり)。

自分なりの言葉で書いてみます。添削してください。

『C→Cの写像Tがあって任意のz,w∈Cについて
    T(z + w) = T(z) + T(w)
    T(zw) = T(z)T(w)
が成り立つ時、写像TをC上の同型写像(または単に同型)であると言う。

特にz',w'∈Cについて
    T(z + w) = T(z') + T(w')
    T(zw) = T(z')T(w')
ならば
    z' = z
    w' = w
である時、写像TをC上の自己同型写像(または単に自己同型)と言う。』

あってますか?

補足日時:2001/07/08 23:47
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shushouです。


>「自分から自分へ」の自分ってどのレベルの話ですか?
これはtaropooさん自身がおっしゃているように
複素数体から複素数体という感じです。
Cの元aを写したら、(aとは違うかもしれないけど)またCの元になる
ということです。
ちなみに、
>複素数 z=x+iy があって、これを自分自身(つまりz=x+iy)に移す
写像は恒等写像といいます。

次に、
>> KからLへの準同型写像とは
>> 任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)
>> を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。

>を満たしていれば、すでにそれは自己同型のような気がするのですが。
についてですが、KからLへということなので
”自己”という言葉は当てはまりません。
taropooさんのおっしゃりたいことは
「KからLへの写像f が
任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b) ・・・(i)
を満たすならばfは同型写像になるのではないか
つまり、(i)を満たせばfは全単射になるのではないか」
ということではないでしょうか。(違ってたらごめんなさい)
残念ながら「 」は成り立ちません。
たとえば有理数体Qから実数体Rへの写像fを
f(a)=a (つまり恒等写像)
とすると、
任意のa,b∈Qに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)
は成り立ちますが、fは明らかに全射ではありませんね。
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まず、下の解答で


普通 R^2 が体であるとは考えません(積の定義が明示されていない
からです)

z→(zの共役) がCの自己同型であるというのは

(z+w)の共役=(zの共役)+(wの共役)
(z*w)の共役=(zの共役)*(wの共役)
が成り立ち、しかも対応が1対1、かつontoである

という意味に理解しておけばよいでしょう
(複素解析を勉強する上では、それ以上には必要ありません。
著者は上のことを式で書くのが面倒だったのかも知れません)

f:C→C が自己同型とは、上のように和、積を保ち、1対1、onto
であるということです。
いまfが実数を動かさないとして、f(i)=jとすると,和積を保つことから
f(i^2+1)=j^2+1
となりますが、左辺は0なので(f(z+w)=f(z)+f(w)でz=w=0とすれば
f(0)=0が出ます)j^2+1=0でなければなりません。
したがって jはiか-iのいずれかでなければなりません。またiの
行き先が決まれば、f(a+ib)=a+f(i)b となるので、すべてのa+ib
の行き先が決まります

この証明は、もしfがあればf(i)=+ior-iということしか言って
いませんが(つまり単なる必要条件)、実際に、恒等写像と
共役があるのでj=+iの場合もj=-iの場合も起こることが
証明されたことになるのです。

この回答への補足

1対1と全単射とは同値でしたっけ?ontoって何ですか?
ただの同型と自己同型の違いがいまいちよく分かりません。

補足日時:2001/07/07 11:47
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同型とは同型写像のことです。

写像fが全単射かつ、和、積の演算について、
演算関係を保つ時(motsuanさんが書かれた通り)、fを体の同型写像と
いいます。
同型写像fが自分自身への写像、すなわちf:C→Cの時、fを自己同型写像
または単に自己同型といいます。

この回答への補足

> 同型写像fが自分自身への写像、すなわちf:C→Cの時、fを自己同型写像
> または単に自己同型といいます。



> 『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』

と矛盾する気がするのですが。だって共役複素数は自分自身ではないですよね?
何が分かってないんだろ?

補足日時:2001/07/07 11:44
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体Cの同型といっているので


演算関係が保存されるということです。
Cの元aとbとcがあって
 a ± b=c
がなりたつときに
C共役の元a^*とb^*とc^*について
 a^* ± b^* = c^*
のが成り立つ、とようなことです。
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この回答へのお礼

質問の中で引用した本の中では「同型」という言葉は体言で書いてあります。

お応えいただいた中では「同型」という言葉が用言的に形容されているので
今一つ「同型とは」が見えてきません。

ただ、その後の方々のフォローがあったのでおっしゃりたい事はちょっと分かってきた気がします。

ありがとうございました。

お礼日時:2001/07/07 11:43

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今、環の準同型定理で詰まっています。
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以下は私の考えを私のことばで書いたものである。きちんと本で確認し、自分で考えを深めてね。


【環の準同型定理とは何ぞや】

R/ker f と f(R) が、自然な対応で加法群として同型になっている。環同型でも見えてるものは同じである。

なのでまず、R/ker f に乗法が入ることを示す。f(R) の方は自明である。
R/ker f の乗法は R から引き継がれる。
剰余類どうしの乗法は、ひとつの類の任意の元にもうひとつの類の任意の元をかけると、そのどれもがただ一つの類に収まることで決まる。
そのことを示すには、a+ker f=a'+ker f 、b+ker f=b'+ker f ならば ab+ker f=a'b'+ker f を示せばよい。
言い換えると、a-a' , b-b'∈ker f ならば ab-a'b'∈ker f を示せばよい。
これは ab-a'b'=a(b-b')+(a-a')b' と変形すれば示せる。
この乗法は R から自然に入るので、結合則も分配法則も従う。
また、1+ker f は R/ker f の単位元であることも容易に示せる。

次に、写像 F : a+ker f → f(a) が同型写像であることをいう。
これはすでに加法群の同型写像なので、F((a+ker f)(b+ker f))=F(a+ker f)F(b+ker f) 、F(1+ker f)=1' を示せばよい。これは容易だ。


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【環を加法群と見たときの剰余群に、自然に乗法が入るかどうかについて】

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なぜなら、R のイデアルを I とするとき、自然な準同型 f : R → R/I に準同型定理を当てはめれば ker f = I となるからである。
イデアルで割ることも、イデアルにまつわるものを 0 につぶすことなのである。

つぶしてやると、ときにはオリジナルにはなかった構造が再構築されることがある。
可換にしたり、0 以外の零因子を生み出したり消したり、閉じてないものを閉じたりなどである。


===
伝えたいことを言葉を替えて何度か書いて冗長になった。
さりげなくだじゃれを差し込めて満足だ。

以下は私の考えを私のことばで書いたものである。きちんと本で確認し、自分で考えを深めてね。


【環の準同型定理とは何ぞや】

R/ker f と f(R) が、自然な対応で加法群として同型になっている。環同型でも見えてるものは同じである。

なのでまず、R/ker f に乗法が入ることを示す。f(R) の方は自明である。
R/ker f の乗法は R から引き継がれる。
剰余類どうしの乗法は、ひとつの類の任意の元にもうひとつの類の任意の元をかけると、そのどれもがただ一つの類に収まることで決まる。
そのことを示すには、a+k...続きを読む

QKer(核)やIm(像)の意味がわからない。

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ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
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この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
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その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
ありますよね? これも、Aの中身によります。
そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合、
Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連...続きを読む

Q教育実習時期について、怒られました

少し長くなりますが、聞いてください。

私はいま大学4年生です。

今回地震の影響で、就職活動が大幅にずれ込んでしまい、6月に選考開始となりました。

6月には教育実習が控えていたので、心配になりましたが、私の大学には教育実習に対応した相談窓口がありません。

そこで大学のキャリアセンターに問い合わせたところ、
企業か、実習高校に連絡して事情を話してみるしかないと言われました。

その時はまだ、3月中でしたので、就職活動は6月開始ということはまだ未定で、とりあえず採用活動は中止・延期ということだけが発表されており、いつから開始されるかは未定とのことでした。

実習高校の教育実習期間は、一年前の時に内諾書をもらいに行く段階で、6月と9月のどちらかを選べるといわれていたのですが、私は卒業論文に支障が出ると困ると思ったことに加えて、当初の予定では就職活動は4月ごろに内定が出て終了しているはずだったので、教育実習に影響はないと思い、6月を選びました。

3月中に、私の担当の先生の方に電話をかけ、
企業の採用開始時期が地震の影響で6月にずれ込んでしまい、教育実習とかぶってしまったのですがどうしたらいいかと相談しました。

その時に、できたら後日直接お伺いして、直接お話をしたいと考えていました。

すると、教科主任の先生の電話を代わられました。

その際、私はもし可能であれば、大変申し訳ないのですが教育実習の期間を9月に変えてもらえないかとお伺いしました。

失礼にあたるのはわかっていましたが、教職免許も今まで頑張ってきた分しっかり取りたいと考えていたので、お願いしました。

わたしとしては、企業と高校に、早い段階からアプローチしておいたほうが迷惑が掛からないのではないかと考えた結果でした。

その電話先でかなり怒られましたが、職員会議にかけるので、連絡を待っていてほしいと言われました。

しかし、いつまで待っても一向に連絡が来ないのでこちらから問い合わせてみたところ、
再び電話口でかなり怒られ、実習期間は9月に変更してもらえたのですが、
後日高校に来る日時を指定され、一方的に電話を切られました。

怒られた内容は、一回目も二回目もだいたい同じようなものでした。

教育実習は本来、高校のボランティアで行っているもので、実習生の都合にいちいち対応していられない

このような場合キャンセルするのが当然なのに、普通は変更は認められていない

先生になる気もないのに中途半端な姿勢で臨まれては迷惑

だいたい電話一本で済ませようとするのがおかしい

企業にもお願いしたところずらしてもらえても実習期間内でした。

私は初めの電話は、相談のつもりで電話をしました。
地震で、どうしたらいいのか全く分かりませんでしたが、相談できるところもなかったので電話をしました。

そこで主任の先生に突然電話相手が代わり、時期の変更などを聞いてみたところ話が進みました。

直接行くつもりでしたが電話だけで話がすんでしました。

連絡を待つように言われたのでかけなおしてみたところ怒られましたが、
私はキャンセルしたほうが迷惑になるのではないかと考えていたので、時期の変更意外に思いつきませんでした。地震という非常時だったので、何か措置を引いてくれるのではと、少し期待していました。

教員になるつもりはありませんが、
途中まで本気で先生になりたいと思ってきました。しかし在学中にやりたいことが見つかったので、民間企業を志望する結果となりました。
しかし今まで大変な教職課程を受講してきた身として、しっかりと免許を取りたい、という気持ちがありました。

電話一本で済ませるつもりもなかったのでとても不本意でした。

加えて高校の時の先生に怒られるというのは、とても精神的ダメージが大きく、来週に実習校に呼び出されたわけですが、とても気が重いです。

私が悪いのはわかります。
周りの友人は、この非常時なんだから高校が地震に合わせた対応をしてくれてもいいんじゃないかと言ってくれますが、本来ならば、実習期間の変更はとても失礼です。

しかし怒られている内容がなんだか腑に落ちなくてもやもやしています。
なんだか気持ちがまったく伝わっていなくて残念な気持ちになりました。

それに職員会議にかけられた以上、先生方の周知の事実なので、実習中の風当りはとてもきついのではないかと思います。

私の取った行動は間違えだったのでしょうか。
大学には相談機関がないので、いまとてもつらいです。

またこれからどうしたらいいのか、とても気持ちが落ち込んでいます。
実習に行きたくないですが、これ以上迷惑もかけられません。

来週高校に行くと思うと気が重いです。
なにかアドバイスがあればおねがいします。

少し長くなりますが、聞いてください。

私はいま大学4年生です。

今回地震の影響で、就職活動が大幅にずれ込んでしまい、6月に選考開始となりました。

6月には教育実習が控えていたので、心配になりましたが、私の大学には教育実習に対応した相談窓口がありません。

そこで大学のキャリアセンターに問い合わせたところ、
企業か、実習高校に連絡して事情を話してみるしかないと言われました。

その時はまだ、3月中でしたので、就職活動は6月開始ということはまだ未定で、とりあえず採用活動は中止・延期とい...続きを読む

Aベストアンサー

こんにちは。

…高校側の応対は客観的に見て非常に納得の行くものですね。
むしろ受け入れてもらえてよかったと思います。

あなたとしては地震や就活のことがあり
また「別に初めから電話で済ませようとしてたわけではない」という気持ちも
分かります。
ただ、相手にはそれはわかりませんよね。

社会人になるってそういうことなんですよ。

あなたの中ではやはり、色々な面で
「仕方ないじゃん」という甘えがあったと思います。
それを相手が汲んでくれてもいいだろう…という甘えです。
それは学生時代の特権です。
教育実習を迎え入れる高校も、あなたを学生としてではなく
「ちゃんとした社会人になれるか」という観点で見ています。
こういう場合に「そうだね、じゃあしょうがないよね~」という対応だったら
むしろあなたを社会人として見ていないということですから
「そういうナアナアの対応には憤慨してもいい」というくらいの気持ちで
これからはやっていかなければなりませんね。

高校側はあなたに本当に良い勉強をさせてくれたと思います。
これが社会人の一発目の洗礼だと真摯に受け止めて
言い訳はせず、非は認め、一生懸命実習には取り組む
それしかないと思います。
あなたの実習期間を見て、高校の先生方もまた色々考えられることがあるでしょう。
大丈夫ですよ。

どうか頑張ってください。

こんにちは。

…高校側の応対は客観的に見て非常に納得の行くものですね。
むしろ受け入れてもらえてよかったと思います。

あなたとしては地震や就活のことがあり
また「別に初めから電話で済ませようとしてたわけではない」という気持ちも
分かります。
ただ、相手にはそれはわかりませんよね。

社会人になるってそういうことなんですよ。

あなたの中ではやはり、色々な面で
「仕方ないじゃん」という甘えがあったと思います。
それを相手が汲んでくれてもいいだろう…という甘えです。
それは学生時代の特権で...続きを読む

Q【代数学】可換群の証明

【問題】
Gを群とする。任意の、x,y属する(記号の入力がわかりません)Gに対して(xy)^2=x^2y^2が成り立つならば、Gは可換群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。

【解答】
群の公理は、以下の①から④である。
①その演算に関して集合は閉じていること。
②結合法則
③単位元の存在
④逆元の存在

①は条件より満たされている。
②は、(xy)^2=x(yy)x=x)y^2)x=x^2y^2となり、満たされる。
③は、単位元1があるため、満たされる。
④は、逆元0があるため、満たされる。
以上から、Gは可換群ということができる。

【質問】
以上のようにして問題を解きました。
したところ、×でした。
どなたか、正答をお教えください。

Aベストアンサー

質問者は問題の意図を完全に理解していません。

問題が聞いているのはGが可換群であることを示すことです。

Gが群であることは問題の前提であるため証明する必要はありません。
証明すべきことは可換、つまり
xy=yx
であることです。

ここで使えるのは群の公理と(xy)^2=x^2y^2だけ。
結合則から
(xy)^2=(xy)(xy)=x(yx)y
これがx^2y^2と等しい。
つまり
x(yx)y=x^2y^2

質問者は②のところでいろいろ変形していますが、証明すべきxy=yxを使って式を変形しているため問題です。xy=yxというのは証明していないため使えません。

x(yx)y=x^2y^2

この式の両辺に左からx^-1,右からy^-1をかけてみましょう。そうすれば
xy=yx
が得られるはずです。

Q単射 全射 全単射 について教えてください

タイトルの通り、単射 全射 全単射についていまいち納得できないので教えてください。

今、手元に問題が5つあるのですが


自然数、整数、実数全体の集合をそれぞれN,Z,Rとする。

(1)f:Z→N f(x)=x2(二乗)
(2)f:R→R f(x)=2x(x乗)
(3)f:R→R f(x)=sinx
(4)f:Z→R f(x)=x3(三乗)
(5)f:R→R f(x)=2x+1

例えば、(1)であれば 
Zが1のとき、Nは1、Zが2のとき、Nは4という風にZが決定すればNはただひとつ必ず決まるから単射。
でも、Zが2のときは、Zは1とも-1ともいえるので全射ではない、ということなのでしょうか。
全単射、というのはそうするとどういった状態を言うのでしょうか・・・

それぞれの問題も全くちんぷんかんぷんです。
どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
 
(3) f: R→R, f(x) = sin x
 sin x は周期関数ですから,たとえば x = 0,π,2π,... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります.だから単射ではありません.
 また sin x は -1 から 1 の値しかとりませんから,R の上に全射でもありません.
 
(4) f: Z→R, f(x) = x^3
 f(x) が単調増加ですから単射です.つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません.
 また f(x) = 2 なる x も Z にはないので全射でありません.
 
(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
 全単射です.f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です.

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
 x = 1,-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから,単射ではありません.
 また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません.
 
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
 f(x) は単調増加ですから単射といえましょう.つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし,f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません.
 また全射ではありません.R への写像となっていますが,f(x) = 0 や負になるような x がないからです.
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Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「nが大きい時(というか初めからだけど)1を超えることはない」
「1付近の値を何回も(無限回)とる」
から1が上極限です。
ことばでいえば、
「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」
(極限の意味でです。∀ε>0に対し上極限+εより大きくならないってことです)



この例では下極限はー1ですね。

(sin(n)-1)*n の場合だと、
上極限は0で、下極限は「なし」(-∞)となりますね。

Q最小多項式の求めかたを教えてください

情報数学 代数数学 離散数学どれにあたるかわかりませんが、行列ではないとおもいます

教科書をよんでもわからないので

いくつか例をあげてやり方を教えてくれませんか?
お願いします

Aベストアンサー

最小(消去)多項式 ですよね。
最小多項式は、特性多項式の約数になるので、
特性多項式を因数分解して、
因数の積で ≡0 になる組み合せを探せばよいです。


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