arctanxマクローリン展開

助けてください！arctanxのマクローリン展開なのですが、途中まではできたと思います。しかし画像の最後に書いてある剰余項が0に収束することを示すことができません。どなたかこの問題を解いていただけないでしょうか。過程や剰余項を具体的に書くとどうなのかも詳しく教えて下さい。お願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2017/10/06 12:07

初項1、公比(－x²)の等比数列のｎ＋1項までの和を公式で出せば、

写真の右辺＝･･･　の剰余項は
(－1)^(n+1)t^(2n+2)/(1+t²)のｔ＝0からｔ＝ｘまでの積分になります。
剰余項の絶対値が０に収束するなら剰余項自体が０に収束するので、それを考えると
剰余項の絶対値＝t^(2n+2)/(1+t²)のｔ＝0からｔ＝ｘまでの積分の絶対値
ここでこのｔの関数は偶関数なのでｘの正負にかかわらず、この積分の絶対値は
＝t^(2n+2)/(1+t²)のｔ＝0からｔ＝|ｘ|までの積分に等しく
さらに1/(1+t²)≦1を考慮すると
剰余項の絶対値≦t^(2n+2)のｔ＝0からｔ＝|ｘ|までの積分＝|ｘ|^(2n+3)/(2n+3)なので
|ｘ|≦1　ならば|ｘ|^(2n+3)/(2n+3)→0　
したがって、|ｘ|≦1でarctanxのマクローリン級数が収束します。