画像の（）でくくった部分を x-3＝-5k y＋1＝2k としても正しいですか？

画像の（）でくくった部分を
x-3＝-5k
y＋1＝2k としても正しいですか？

No.5 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/10/18 15:00

不定方程式の整数解を求める問題ですね。

ディオファントス方程式とも呼ばれます。
方程式の解の一つを求め、それを使って一般解を導いています。

2x+5y=1
解の一つは、(x,y)=(3,-1)
2x+5y =2×3 +5×(-1)
2(x-3) =5(-y-1)
ここで2と5は互いに素であるから、
(x-3)は5の倍数でなければなりません。

そこで、nを整数として(x-1)を
(x-3)=5n
とおきます。
すると、
x=5n+3
となります。一方で、
2(x-3) =5(-y-1)
より
2×5n =5(-y-1)
2n =(-y-1)
y=-2n-1

したがって、2x+5y=1 の一般解は、nを整数として
x=5n+3
y=-2n-1
となります。


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質問の回答ですが、
x-3＝-5k
とすることは、x-3 が -5 の倍数だとしていることになります。
kが整数なので、導かれる解は
x=-5k+3
y=2k-1
になりますが、一般解としては正しいと言えます。

もっといえば、
2x+5y=1
の一つの解を (x,y)=(-2,1) とした場合、
2x+5y =2×(-2) +5×(1)
2(x+2)=5(-y+1) より
x+2=5n
-y+1=2n
となるので、
一般解は、nを整数として
x=5n-2
y=-2n+1
となります。
もちろん、こちらでも一般解としては正しいと言えます。

この回答へのお礼

ありがとうございます(_ _)

お礼日時：2017/10/18 18:15

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/18 14:34

問題なしと言ったのは、あくまで、

2(xー3)=ー5(y+1)=10k の時の答えで、

もし、=ー10k の時ならという条件付きです。

普通は、ー10kとはおかないでしょうから！

心配ならば、ー10Kとおいて、ただし、K=ーkとすれば同じでしょう！

この回答へのお礼

ありがとうございます(_ _)

お礼日時：2017/10/18 18:15

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2017/10/18 13:44

式としては、正しいと思いますが、この後の最終の答え方によっては、違ってくるかもしれません。

画像にあるのは (x, y)=(5k+3, ー2kー1) で、 あなたが書いた式から求めると (x, y)=(3ー5k, 2kー1) です。
k=0 の時には、どちらも (x, y)=(3, ー1) になりますが、
k=2 の時には、(13, ー5) と (ー7, 3) になりますね。
その違いが、この後に影響しないならば、どちらでも良い事になります。

この回答へのお礼

ありがとうございます(_ _)

お礼日時：2017/10/18 18:15

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/18 13:07

kは整数(負も含むので)とおいてあるので、仮に、K=ーk とおくと

(x,y)=(ー5K+3 ,2Kー1)となるし、また、

=10kを=ー10kとおいてもいいので、問題なし！

No.1 回答者： kouchyon 回答日時： 2017/10/18 13:03

正しくないです。

２（ｘ－３）　の式の（ｘ－３）の部分を代わりの文字に置き換えるのですが、
式を見ると
２（ｘ－３）＝１０ｋ　となっています。
この式を整理すると　（ｘ－３）＝５ｋ

もう一つ、ー５（ｙ＋１）＝１０ｋ　なので　整理すると
ｙ＋１＝－２ｋ　となります。

なので、プラスマイナスを逆にしてはいけません。