不定方程式について。 6x-11y＝4の整数解をすべて求めよという問題です。 これを移項して -11

不定方程式について。
6x-11y＝4の整数解をすべて求めよという問題です。

これを移項して
-11y=4-6x
-11y=2(2-3x)
11と2は互いに素なのでyは2の倍数である
よってy=2k(kは整数)とおける
…と計算をすすめたら間違えました。
どこが間違いなのでしょうか？

No.4 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/10/24 14:34

間違いの箇所を指摘するのを忘れていました。

「-11y=2(2-3x)
　11と2は互いに素なのでyは2の倍数である」
とすることは、
「(2-3x)が11の倍数である」
としていることでもあります。
2-3x=11k
ゆえに、どんな11の倍数に対しても
xに整数を入れることで成り立つ必要があるわけです。
ですが今回の場合、k=0のとき
つまり 2-3x=0 を満たすxは整数ではありません。


単純に移項して解を求めようとしたのが
間違いの原因だったのでしょうね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
納得しました。

お礼日時：2017/10/31 23:49

No.3 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/10/24 03:00

不定方程式を解くコツは、方程式の解の一つを見つけることです。

暗算でわかる場合はそれでよいのですが、
わからない場合はユークリッドの互除法で見つけてください。


6x-11y＝4　　　…①
の解の一つは、(x,y)=(8,4)なので
6×8 -11×4＝4　　…②
①-②より
6x-11y -(6×8 -11×4) =0
6x -6×8 =11y -11×4
6(x-8) =11(y-4)
6と11は互いに素であるから、x-8 は11の倍数でなければならない。
そこで、nを整数として x-8=11n とおくと
x=11n +8
また、11(y-4)=6(x-8) =6×11n　より　y-4=6n
したがって、
y=6n +4

ゆえに、6x-11y＝4 の一般解は、nを整数として
x=11n +8
y=6n +4
で表される。


----------
最初の解の一つをどうとってくるかで
不定方程式の一般解の表し方が変わってきます。
ですが、すべての整数nにおいて成り立つことには変わりありません。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/10/24 02:26

「y が偶数」自体は合ってるはず.

つまり「ここには書かれていないところ」が間違っているんだと思う.

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2017/10/24 01:23

6x-11y＝4

6x-5y-6y＝4
x-y＝5y+4

こっちだと思う。
（この先考えるの面倒だからパス）