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不定方程式について。
6x-11y=4の整数解をすべて求めよという問題です。

これを移項して
-11y=4-6x
-11y=2(2-3x)
11と2は互いに素なのでyは2の倍数である
よってy=2k(kは整数)とおける
…と計算をすすめたら間違えました。
どこが間違いなのでしょうか?

gooドクター

A 回答 (4件)

間違いの箇所を指摘するのを忘れていました。



「-11y=2(2-3x)
 11と2は互いに素なのでyは2の倍数である」
とすることは、
「(2-3x)が11の倍数である」
としていることでもあります。
2-3x=11k
ゆえに、どんな11の倍数に対しても
xに整数を入れることで成り立つ必要があるわけです。
ですが今回の場合、k=0のとき
つまり 2-3x=0 を満たすxは整数ではありません。


単純に移項して解を求めようとしたのが
間違いの原因だったのでしょうね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
納得しました。

お礼日時:2017/10/31 23:49

不定方程式を解くコツは、方程式の解の一つを見つけることです。


暗算でわかる場合はそれでよいのですが、
わからない場合はユークリッドの互除法で見つけてください。


6x-11y=4   …①
の解の一つは、(x,y)=(8,4)なので
6×8 -11×4=4  …②
①-②より
6x-11y -(6×8 -11×4) =0
6x -6×8 =11y -11×4
6(x-8) =11(y-4)
6と11は互いに素であるから、x-8 は11の倍数でなければならない。
そこで、nを整数として x-8=11n とおくと
x=11n +8
また、11(y-4)=6(x-8) =6×11n より y-4=6n
したがって、
y=6n +4

ゆえに、6x-11y=4 の一般解は、nを整数として
x=11n +8
y=6n +4
で表される。


----------
最初の解の一つをどうとってくるかで
不定方程式の一般解の表し方が変わってきます。
ですが、すべての整数nにおいて成り立つことには変わりありません。
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「y が偶数」自体は合ってるはず.



つまり「ここには書かれていないところ」が間違っているんだと思う.
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6x-11y=4


6x-5y-6y=4
x-y=5y+4

こっちだと思う。
(この先考えるの面倒だからパス)
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