同じ力なのに仕事が異なるのはどうしてでしょうか

単純な問題かと思いますが、とても悩んでおります。

図のような二つのケースです。
①では円盤の中心から力Fを与えているのでトルクは生じず、円盤は回転しないで右に直進します。
加速度はa = F/m, すると時間tの際の速度vはFt/m、また変位xは(1/2)(Ft^2)/m。
したがって、時間tまでの間に力Fがした仕事Wは、(1/2){(Ft)^2}/m。

②では円盤の上端から力Fを与えています。円盤に質量を無視できるリボンが巻かれていると想定頂ければと思います。
この場合、トルクFrが生じるため、円盤は回転をして、またFは直進の加速度aも与えるので右に進みます。
直進運動について、加速度は、速度v、変位x、また力Fがした仕事Wは①とすべて同様で、
a = F/m
v = Ft/m
x = (1/2)(Ft^2)/m
W = (1/2){(Ft)^2}/m

さらに回転について
角加速度α ＝rF/I
角速度ω = rFt/I
角度変位Θ = (1/2)(rFt^2)/I
となり、この際の仕事wは (1/2){(rFt)^2}}/Iとなります。

すると、②の場合、力Fは、W + w の仕事をしており、
「②の場合では①の場合よりも大きな仕事をしている」ことになります。

この「②の場合では①の場合よりも大きな仕事をしている」ことに合点がいかず悩んでおります。
与えている力はFで、直進の変位はともに同じなのだから、同じ仕事をするのではないか、と直感的に考えてしまいます。
同じ力で同じ距離を動かしたのだから使うエネルギーは同じだろう、と思うのですが、どうでしょうか。

どこか抜けているポイントがあったり、間違っているポイントがあるかと思いますが、それが見つけられません。

どうかアドバイスお願いします。

図面や式が分かりずらいようでしたら、書き直しますので、どうか宜しくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/11/09 12:27

>出されたリボンの長さは

考察が甘いですね。

リボンの移動距離(=作用点の移動距離)=
リボンが円からくり出される長さ
+
円の中心の移動距離

この回答へのお礼

さらに回答頂きありがとう御座います。納得しました。かなりアハ体験？をした気分です。なるほど！と思わず口に出てしまいました。

お礼日時：2017/11/10 03:41

No.9 回答者： doc_somday 回答日時： 2017/11/09 17:20

なぜ意識的に角速度と角加速度を無視して比較をするのですか。

これらが異なれば同じ結果が得られるはずが無いでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとう御座います。

①力の作用点が異なる ⇒ ②一方では回転あり、もう一方では回転なし、並進についてはどちらのケースも同じ ⇒ ③したがって運動エネルギーは両者で異なる ⇒ ④けれども同じ力が働いていて、変位が同じ（ような気がしていた）なので仕事は両者で同じ（だと思っていた）

③と④の矛盾を解決したかったということであります。

当たり前・自明のことと言えばそうなのですが、うまく物理・数式で説明がいかないので、納得できずにおりました。
「〇〇なはずがない」というところを合理的に説明できるとこが物理の面白いところですね。まだまだ勉強が足りませんでした。

お礼日時：2017/11/10 03:53

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/11/09 14:23

>の「F」は、②でいう並進力ではなく、

>①の「F」に相当するものとして使いました。
>「時間tまでの間に力Fがした仕事W」と言っていて、
>①と②で同じ「F」や「t」を使っているのが誤解のもとですね。

これも間違い。並進運動は同じ
なのでFもtも同じものが使えるので
違いがわからないというのが質問の趣旨です。

この回答へのお礼

「Fもtも同じものが使えるので違いがわからないというのが質問の趣旨です」
まさにそうでありました。流石すぎます。

お礼日時：2017/11/10 03:46

No.7 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/11/09 13:13

Fで引張る人がリボンを巻き取らず常に張力がFとなるように単に引っ張るという状況を考えてみるとよいでしょう。

同然円盤が人の進行方向に移動していきますし、さらにリボンは円盤から巻きだされます。
そのため人はリボンがピンと張っている状態を維持するためには巻きだされた量だけ円盤からの距離を広げる必要があり、人は円盤よりも速く移動しなければなりません。
その人がした仕事を考えるにはこの人の移動量を考えないといけないのです。
力を加えている時間tの間に人が移動する距離は円盤の移動距離よりも大きくなります。

この回答へのお礼

直観的に非常にわかりやすい説明でとても納得しました。ありがとうございます！

お礼日時：2017/11/10 03:45

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2017/11/09 12:57

No.2です。

ちょっと書き方が悪かったですね。

＞つまり、加えた力の一部が「回転」運動に、一部が「並進」運動に使われます。つまり
　F = ma + Idω/dt　　　　　　　　　　　　　←この式は間違えていました。
となります。

の「F」は、②でいう並進力ではなく、①の「F」に相当するものとして使いました。
「時間tまでの間に力Fがした仕事W」と言っていて、①と②で同じ「F」や「t」を使っているのが誤解のもとですね。

この回答へのお礼

他の方からご指摘頂いておりますように、Fとtが同じという条件なのに、仕事が異なるのが疑問でありました。問題は、作用点の変位が二つのケースで異なるということでした。一見、作用点の変位も同じに思ってしまった私の落ち度でした。いずれにしましても回答下さりありがとう御座います。

お礼日時：2017/11/10 03:45

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/11/09 12:42

>加えた力の一部が「回転」運動に、一部が「並進」運動に使われます。

いや、そういうことはないです。
F=ma
N=I・dω/dt
は同時に成り立ちます。
そこがこの質問の誤解の源です。

この回答へのお礼

解説頂き、重ねてお礼申し上げます。ありがとう御座います。

お礼日時：2017/11/10 03:42

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/11/09 11:54

力も移動距離もベクトル量だから、この場合、力と移動距離は同じ方向もいる必要が有ります。

リボンが受ける水平方向の力と水平方向に進む距離は、①と②では異なります。

または、上が水平方向の仕事とし、下を回転方向の仕事として比較するなら、上は滑らす方向の移動距離、下は円周方向に回転した距離で比較する必要があります。

この回答へのお礼

少々私の質問のケースと異なるようです。けれども回答下さり、議論頂きありがとう御座います。

お礼日時：2017/11/10 03:40

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/11/09 11:42

＞①では円盤の中心から力Fを与えているのでトルクは生じず、円盤は回転しないで右に直進します。

はい、摩擦がなければ回転しません。力はすべて「並進運動」に使われます。
回転するのは摩擦がある場合です。

＞②では円盤の上端から力Fを与えています。

円板は中心周りに回転を始します。つまり、運動としては「回転」と「並進」が同時に起こります。つまり、加えた力の一部が「回転」運動に、一部が「並進」運動に使われます。つまり
　F = ma + Iω
となります。
従って、並進運動の加速度は
　a = F/m
ではありません。

この回答へのお礼

回答下さり、議論頂き、ありがとう御座います。

お礼日時：2017/11/10 03:38

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/11/09 11:15

エネルギー=Ｆ×リボンの移動距離

ですよね。

この回答へのお礼

tknakamuri様、前回に引き続き回答下さりありがとう御座います。

「リボンの移動距離」というのは、「どれだけの長さのリボンが円盤から出されたか」、ということと思いますが、

出されたリボンの長さは
角度変位 (1/2)(rFt^2)/I と円盤の半径rの積で、
(1/2)F(rt^2)/Iとなり、

エネルギー ＝ F X 出されたリボンの長さ ＝ (1/2){(rFt)^2}}/I
となり、このエネルギーは回転にしか寄与されなくなってしまいます。

直線運動へ寄与するエネルギーが抜けてしまうのですが、いかがでしょうか。この辺りで混乱しています。

お礼日時：2017/11/09 11:23