
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
論証の趣旨は、f(x)=e^x-x-1の単調性(x≦0では単調減少、0≦xでは単調増加)
を(微分を使って)きちんと言うことがポイントでしょ。
その単調性とf(0)=0を組み合わせて、f(x)=0となるのはx=0に限ると結論付ける形。
ありがとうございます。
助言をいただいて「単調性」や「極値が1つ」ということは論旨ではないことを再確認できました。(実数の範囲では)x=0がy=0の解の1つなので、y=e^x-(x+1)のグラフがx軸と1点のみで交わることを増減表によって示すのが、今回の技法の本質ですね。
No.4
- 回答日時:
複素数の範囲に広げるとe^z=z+1の解の個数は無限にあります。
WolframAlphaによると
z=W_n(-1/e)-1
W_n(z)はランバートのW関数を解析接続したもので、nは全ての整数となります。
ランバートのW関数は
f(W)=W*e^W
の逆関数です。
W_0(-1/2)=W(-1/e)=-1ですのでz=W_0(-1/e)-1=-(-1)-1=0も解の一つとして含まれます。
>複素数の範囲に広げるとe^z=z+1の解の個数は無限にあります。
そうなんですね。複素関数論はほぼ無知に等しいので、
ランバートのW関数など、私にとっては難解なことが多いです。
それでも、複素数解の空間に0がきちんと含まれていることや、
解が無数にあることなどは、興味深いと思いました。
WolframAlpha onlineによって、関連する記述を拝見することもできました。
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e^(x+iy):=e^x (cos(y)+i*sin(y))
と定義します。