領域の問題

実数aが0<a<1の範囲を動く時、曲線y=x^3-3a^2x+a^2　の極大点と極小点の間
にある部分（ただし、極大値、極小値は含まない）が通る範囲を図示せよ。
という問題で、
y'=3(x-a)(x+a) -1<x<1
f(a)=(3x-1)a^2-x^3+y
これの判別式Dとして　-1<x<1に解をもつ条件で、
存在範囲を求めようとしましたが、x^4がでてきてやりにくかったです。

どのような考え方でとけばいいでしょう？？

No.3 ベストアンサー 回答者： kumipapa 回答日時： 2008/06/27 13:55

愚直に求めてみましょう。

y = x^3 - 3 a^2 x + a^2　において、 x = a で y は極小、x = -a で y は極大
a が 0 ＜ a ＜ 1 の範囲で変化するとき、極大点と極小点の間にある (β , y ) における y の値の範囲を考える。

まず、βとaの範囲について整理すると、-a ＜ β ＜ a かつ0 ＜ a ＜ 1 より、
βが取りえる値の範囲は、-1 ＜ β ＜ 1
βを固定したときに、(β, y) が題意を満たすa の範囲は |β| ＜ a ＜ 1

y = (1 - 3β) a^2 + β^3
βを固定して考えると、y は a の 2 次関数。
この 2 次関数の a の定義域を |β| ＜ a ＜ 1 として、 y の値域を求めればよい。
y = g(a) = (1 - 3β) a^2 + β^3 とおくと、

1 - 3β ＞ 0　⇔　β ＜ 1/3 のとき）
y = g(a) は a = 0 を軸とする下に凸な放物線なので、 g(|β|) ＜ y ＜ g(1)
∴　- 2β^3 + β^2 ＜ y ＜ β^3 - 3β + 1

1 - 3β = 0 のとき）
β = 1/3　,　y = 1 / 27 　→　a の値に関わらず定点 (1/3, 1/27) を通る

1 - 3β ＜ 0　⇔　1/3 ＜ β のとき）
y = g(a) は a = 0 を軸とする上に凸な放物線なので、 g(1) ＜ y ＜ g(|β|)
∴　β^3 - 3β + 1 ＜ y ＜ - 2β^3 + β^2

故に求める領域は、
-1 ＜ x ＜ 1/3 のとき -2 x^3 + x^2 ＜ y ＜ x^3 - 3x + 1
x = 1/3のとき ( 1/3 , 1/27)
1/3 ＜ x ＜ 1 のとき x^3 - 3x + 1 ＜ y ＜ -2x^3 + x^2

#1, #2 さん流で求める場合ですが、|x|＜ a の条件をお忘れになってますので（ご愛嬌です）申し訳ないけど勝手に訂正させていただくと、
-1 ＜ x ＜ 1 かつ |x| ＜ a で
(1 - 3x) a^2 = y - x^3
1 - 3x = 0 のとき（略）
1 - 3x ≠ 0 のとき
a^2 = (y - x^3) / ( 1 - 3x)
ここで、（x を固定して考えると、）a の変域は |x| ＜ a ＜ 1　であるから、
x^2 ＜ a^2 ＜ 1
x^2 ＜ (y - x^3) / (1 - 3x) ＜ 1
これを解いて、
1 - 3x ＞ 0 のとき　-2x^3 + x^2 ＜ y ＜ x^3 - 3x + 1
1 - 3x ＜ 0 のとき　-2x^3 + x^2 ＞ y ＞ x^3 - 3x + 1

この回答へのお礼

ありがとうございました。。よくわかりました。
なぜ、愚直なのかわわかりませんでしたが・・・
素人は普通と解釈しておきます。。。

お礼日時：2008/06/28 12:02

No.4 回答者： take_5 回答日時： 2008/06/27 14:44

＞#1, #2 さん流で求める場合ですが、|x|＜ a の条件をお忘れになってますので（ご愛嬌です）

ご指摘、ありがとうございます。うかつですね。見事に、欠落してます。

ツマンナイ問題だな、つて思いながら解いてました。。。。恥

No.2 回答者： take_5 回答日時： 2008/06/26 20:10

又、計算ミス。

。。。。。笑

＞これは、3x＞1の時、x＾3＋3x-1＜y＜x^3。3x＜1の時、x^3＜y＜x＾3＋3x-1

　　　　　　　　　　　↓

これは、3x＞1の時、x＾3-3x＋1＜y＜x^3。3x＜1の時、x^3＜y＜x＾3-3x＋1


＞以上から、
＞1/3＜x＜1の時、x＾3＋3x-1＜y＜x^3。
＞1/3＝xの時、点（1/3、1/27）。
＞-1＜x＜1/3（x≠0）の時、x^3＜y＜x＾3＋3x-1。


　　　　　　　　　↓


以上から、
1/3＜x＜1の時、x＾3-3x＋1＜y＜x^3。
1/3＝xの時、点（1/3、1/27）。
-1＜x＜1/3（x≠0）の時、x^3＜y＜x＾3-3x＋1。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
通過領域でもとめる方法もあるのかなと思っていましたが
わからなかったので、助かりました。

お礼日時：2008/06/28 12:06

No.1 回答者： take_5 回答日時： 2008/06/26 19:46

係数aの次数が同じなので、つまらない問題。

f（x）＝x^3-3a^2x+a^2より、f´（x）＝3x^2-3a^2＝3*（x+a）*（x-a）となり、これはa≠0より極値を持つ。
増減表を書くと、x＝aで極小、x＝-aで極大となる。
即ち、曲線：y＝x^3-3a^2x+a^2　‥‥(1)の｜x｜＜a　‥‥(2)の部分の通過領域を求める事になる。
そのためには、(1)より、（a＾2）*（1-3x）＝y-x^3　‥‥(3)であり、条件から0＜a＜1であるから、
その条件の下で曲線(3)の動き得る領域を求めると良い。
(3)より
・1-3x＝0の時、0＝y-x^3より　点（1/3、1/27）‥‥(4)
・1-3x≠0の時、a＾2＝（y-x^3　）/（1-3x）となり、0＜a＜1より、0＜（y-x^3　）/（1-3x）＜1.‥‥(5)
これは、3x＞1の時、x＾3＋3x-1＜y＜x^3。3x＜1の時、x^3＜y＜x＾3＋3x-1
又、(2)より　｜x｜＜a、0＜a＜1であるから、｜x｜＜1、and、x≠0‥‥(6)

以上から、
1/3＜x＜1の時、x＾3＋3x-1＜y＜x^3。
1/3＝xの時、点（1/3、1/27）。
-1＜x＜1/3（x≠0）の時、x^3＜y＜x＾3＋3x-1。