中3数学です 問2の図形で、四面体BC-EFMNの体積が分かれば解けるところまでいったのですが、とう

中3数学です
問2の図形で、四面体BC-EFMNの体積が分かれば解けるところまでいったのですが、とうしてもこの立体の体積の出し方が分かりません。教えて下さい。

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2017/12/11 14:08

三角柱 ABC-DEF から、

三角錐 Q-DMN、三角錐 Q-ABC、四面体 BC-EFMN を除いて
求める四角錐 Q-BPNM の体積を計算しようとお考えのようですが

直接、四角錐の体積を求めるように方針を変更するほうがいいのではないでしょうか

BCの中点をI,EFの中点をJ,MNの中点をK として
断面ADJIを考え(三角柱をADから真っすぐ切るイメージ)
QからIKに下した垂線の足をHとすれば
四角錐の高さQHは比較的簡単に求められると思います

この回答へのお礼

ありがとうございます。その方針で最初やってみたのですがどうしても高さが計算できなかったんです。
ですからまずは四面体BC-EFMNの体積の求め方を教えてください。

お礼日時：2017/12/11 16:50

No.2 回答者： 20170130 回答日時： 2017/12/11 17:00

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10127600.html

No.3 回答者： jyuguritto 回答日時： 2017/12/11 19:44

これは、今日別の人に回答したものです。

偶然にもあなたの質問を見ましたのでコピーですが送ります。
参考にしてください。
№1と図が少し変わりますので、記号が少し変わっているかも。

前回と違う方法で。(計算違いがありました。すみません）

V0～V3で計算するために、a-b 断面で各値を求めます。
ab=√(81+3)=√84=2√21
aQ=√(16+12)=√28=2√7
bQ=√(25+3)=√28=2√7
△abQ は二等辺三角形なのでaQ'=bQ'=√21
QQ'=√(28-21)=√7
V1 は△ABCを底面積,高さAQの三角錐なので
VI=(4×2√3)/2×4/3=16√3/3
V2は△DMNを底面積、高さDQの三角錐なので
V2=(2×√3)/2×5/3=5√3/3
V3 はまず、□BCEFを底面積,高さ√3の1/2を求める。
(4×√3)×9/2=18√3
これから△MM'E×CF/3×2を差し引く。
√3×1/2×9/3×2=3√3
V3=18√3-3√3=15√3
全体の体積は三角柱なので
V=(4×2√3)/2×9=36√3
V0=V-V1-V2-V3
=36√3-16√3/3-5√3/3-15√3
　 =14√3
きく＝14
け＝３

この式は№1の訂正です。計算違いしていました。

xy＝√（9²+√3²)=2√21
Qy=√(5²+√3²))＝2√7
Qx=√(4²+2√3²))＝2√7
△Qxyは二等辺三角形なので
xQ'=yQ'=√21
QQ'=√((2√7)²-(√21)²)
=√7
□BCNMの底面積は
(上辺+下辺)×高さ/2
=(4+2)×2√21/2
=6√21
求める体積は底面積×高さ/3
=6√21×√7/3
=2√147
=14√3

以上です。

No.4 ベストアンサー 回答者： Dr-Field 回答日時： 2017/12/11 22:59

中3向けの解答だと、これが一番わかりやすいと思います。

線分CNを、C→Nの方向に延長します。同様に、線分BMをB→Mの方向に延長します。再び同様に、線分ADをA→Dの方向に延長します。すると、この3本の線は一点で交わります。この交点をXとします。
∠XDN＝∠XAC＝90°、∠AXC＝∠DXNより、△XDNと△XACは相似な三角形となり、AC:DN＝2:1ですから、AD＝DX＝9cmが導かれます。同様な理論で、△XDMと△XABも相似な三角形で、AB:DM＝2:1。2辺と挟まれる角度が同じなので、△XDN≡△XDMであり、△XAC≡△XAB。

次に、三角錐X-ABCを考えます。これは、△ABCを底辺として高さがAXの三角錐ですので、体積は△ABCの面積×AXの長さ×(1/3）で求まります。
△ABCの面積は一辺が4cmの正三角形なので、4√3cm、AXの長さは先に求めたように18cmですから、三角錐X-ABCの体積＝4√3×18×(1/3)＝24√3。
そこから三角錐X-DMNの体積を引けば、五面体△ABC-△DMNが出てきます。更にそこから三角錐Q-ABCと三角錐Q-DMNの体積を引けば、求めたい立体Q-BPNMの体積になります。

△DMNの面積＝1辺が2cmの正三角形の面積＝√3。
三角錐X-DMNの体積＝△DMNの面積×XD×(1/3)＝√3×9×(1/3)＝3√3
三角錐Q-DMNの体積＝△DMNの面積×DQ×(1/3)＝√3×5×(1/3)＝(5/3)√3
三角錐Q-ABCの体積＝△ABCの面積×AQ×(1/3)＝4√3×(9-5)×(1/3)＝(16/3)√3

立体Q-BPNMの体積＝24√3－3√3－(5/3)√3－(16/3)√3＝14√3　(cm^2) //