球殻状のコンデンサの電界を求める問題です

以下の問題が解けずに困っています．皆様の力を貸してください．

図のように，それぞれ半径 r1，r2 （r1 < r2） の厚みの無視できる同心状の導体球殼がある。 内側の球殼と外側の球殼との電位差が V であるとき，球殼の中心から距離 r (r1 < r < r2) の点に おける電界の大きさを求めよ．

答えは
(r1*r2*V)/{(r2-r1)r^2}
になっています．

確かに，この式をa~bの区間で積分するとVになる為，この式が正しいことはわかるのですが導出する方法がわかりせん．

No.1 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2017/12/23 08:59

r1とr2の電位差がVであるから電荷をQとすれば

V=(Q/4πε0)*(1/r1－1/r2)　　(*は掛け算の意 , ε0:真空の誘電率)
∴Q=4πε0*r1*r2*V/(r2-r1)

半径rにおける同心球にガウスの定理を適用すると
E=Q/(4πε0*r²)
=4πε0*r1*r2*V/(r2-r1)/(4πε0*r²)
　=r1*r2*V/((r2-r1)r²)

この回答へのお礼

おかげさまで理解することができました．ありがとうございました．

お礼日時：2017/12/24 15:04

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/12/23 09:57

ガウスの定理から 電界は

E=a/r^2
になります。
これをr1~r2で積分したものがVになるように
aを決めれば良いのです。

∫[r1→r2]Edr=-a/r1+a/r2=Ⅴ=a(1/r2-1/r1)=-a(r2-r1)/(r1r2)

まず、ガウスの定理の美しさを堪能する方が先かな。
応用の広い法則なので、しっかり覚えましょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました．理解がより深まりました．
おっしゃる通りよく勉強したいと思います．

お礼日時：2017/12/24 15:05