2つの同種粒子からなる系の波動関数は
ボソン:ψ=φA(r1)φB(r2)+φA(r2)φB(r1)
フェルミオン:ψ=φA(r1)φB(r2)-φA(r2)φB(r1) と教わりました。しかし、これらの関数は一般的には系のエネルギーを与える固有関数にはなりません*。なのに、何故、これらの関数を系の波動関数と呼ぶのでしょうか?事情をご存知の方、教えてください。
*例:位置rAに原子核がある基底状態の水素原子の中の電子1
ハミルトニアンH1=(p1^2/2m)-(e^2/4πε0❘r1-rA❘),
波動関数φA(r1),エネルギーEA
位置rBに原子核がある基底状態のヘリウムイオンHe+の中の電子2
ハミルトニアンH2=(p2^2/2m)-(2e^2/4πε0❘r2-rB❘),
波動関数φB(r2),エネルギーEB
からなる系を考えてください。(rAとrBは十分離れているとします。)
残念ながらφA(r2)はH2の固有関数にはなれず、φB(r1)もH1の固有関数にはなれません。(計算してみて下さい。すぐ、分かります。)
ですから、ψ=φA(r1)φB(r2)-φA(r2)φB(r1)もH1+H2の固有関数にはなれませんし、系のエネルギーEA+EBを導くことはできません。
A 回答 (1件)
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No.1
- 回答日時:
お書きになっている例が正しくないのはそもそもH_1+H_2が系全体のハミルトニアンになっていないからです。
ポテンシャルの項は
V_A(r)=-e^2/4πε|r-r_A|
V_B(r)=-2e^2/4πε|r-r_B|
としたとき、V(r)=V_A(r)+V_B(r)としなければいけません。
つまり、H_1=p1^2/2m+V_A(r1)+V_B(r2)となります。
「H原子の近くにいる方の電子が1番」などと決めているように見えますが、電子は区別できないのでそのような事はできません。
eatern27 様。ご回答ありがとうございます。H_1=p1^2/2m+V_A(r1)+V_B(r2)ということですが、H_1+H_2はどう記述されるのでしょうか?それから、ψ=φA(r1)φB(r2)-φA(r2)φB(r1)は、そのハミルトニアンの固有関数になるのでしょうか?
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2つの電子の相互作用が無視でき、H1φA(r1)=EAφA(r1), H2φB(r2)=EBφB(r2)が成り立つ場合、
ハートリー積 φA(r1)φB(r2) はH1+H2の固有関数になり固有値は EA+EB になりますが、
φA(r2)φB(r1) はH1+H2の固有関数になれず、ψ=φA(r1)φB(r2) -φA(r2)φB(r1) もH1+H2の固有関数になれません。ハートリー積 φA(r1)φB(r2)を系の波動関数とせず、固有関数にならないψを波動関数とする理由は何か教えてください。