20°の証明

画像の問題を解いて頂きたいです。

質問者からの補足コメント

• (3)の青〇＝50°の計算過程を教えてください

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/01/11 14:46

No.10 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/01/14 14:06

これ本当に中学生向けですか？

9点円の定理を駆使しないと解けない様です。

9点円の定理は以下
https://mathtrain.jp/nine

これの応用問題が質問の問題の様です(下のurlから入った5番の問題)。
(とても中学生向けとは思えない）
https://www.geogebra.org/m/M7WFsDw9

No.9 回答者： syotao 回答日時： 2018/01/13 18:35

高校生なら、三角関数の加法定理を使う証明法はありますが....。

ここでは中学以下の知識でということなのでだめですね。（＾＾);

No.8 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/01/13 18:29

これは、超難問で、且つ、名作の1個。

この質問は締め切って、再度、何回も質問して目に触れる様にして欲しい。

2倍角、3倍角とか、tan(90-A)=1/tanAとか使ってゴリゴリやると20°が出てくるけど、図形を使ったエレガントな解法が難しい・・・・。

No.7 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/01/12 08:34

横からチョット

No.6 Ae610様
△DAC∽△DA'Aの根拠、つまり2辺比が等しいと言う根拠が有りません。

この問題は角度や相似グライでは解けない難問です。
(ラングレーの問題に匹敵する難問)

No.6 回答者： Ae610 回答日時： 2018/01/12 04:27

ANo.5・・!

ちと回答訂正・・!(二次方程式にする必要はなかった!!)
△DAC∽△DA'Aなので対応する角が等しい
∴∠DAA'=∠ACD　(或いは∠DA'A=∠DAC)
40°=(60-x)°　　(或いは(140-x)°=120°)
より
x=20°

-------------
因みに当方は(耄碌爺故!)質問者が望む回答者とはならないが・・!?

No.5 回答者： Ae610 回答日時： 2018/01/12 02:34

BAの延長線とDCとの交点をA'とすると

△DAC∽△DA'A
∵2辺比挟角相当

∠DAA'=40°, ∠DA'A=(140-x)°
∠ACD=(60-x)°, ∠DAC=120°
よって
40:(60-x)=(140-x):120
(60-x)(140-x)=4800
x²-200x+3600=0
(x-180)(x-20)=0

x=180°は成立しない
よって
x=20°

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/01/11 18:02

>>(3)の青〇＝50°の計算過程を教えてください

ヘ・ン・ダ・・・・
どうやら間違えてる様です。
この回答破棄処分です。

再度考え直します。ゴメン・・・・

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/01/11 14:23

下の図を見ながら。

(1)
Bから垂線を立て、CAの延長線との交点をEとする。
EからCDへ垂線を下ろし、交点をFとする。

(2)
△CEFは直角3角形だからC,E,FはCEを直径とする半円周上の点。
△BCEは直角3角形だからB,C,EはCEを直径とする半円周上の点。
∴B,C,E,Fは同一円周上の点。

(3)
青●は計算すると50°で、青弧(FC)の円周角。
∠ABCも50°でBCは同一円周上だから、BAを延長するとFに重なる。
(円周角の定理)

(4)
緑弧(EF)の円周角緑は40°だから、同じ弧に対する赤円周角も40°
あとは、単純計算によりX=20°

難しかった～

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/01/11 07:45

jyuguritto様　横から済みませんが・・・・。

Bが外接円周上の点である事が言えないと、この論法が成立しません。
図を描くとそうなりますが、根拠が有りません。

No.1 回答者： jyuguritto 回答日時： 2018/01/10 20:58

解答権はないかも？

作図で可能でした。
数式による証明はこれをヒントに。
参考まで。