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大学2年の幾何学概論の問題です。
「2点A,Dが直線BCの同じ側にあって∠BDC=∠BACならば四点A,B,C,Dは同一円周上にある」
の証明の中で、点Dが円rの外側にある場合に弦BC上の点Mを持ち出さなければいけない理由とは?

まずどうやって解答をすればいいのか教科書等を参考に考えてはみましたが、全く検討がつきません。お分かりの方いらっしゃいましたら、ご教授よろしくお願い致します。

A 回答 (3件)

「円周角の定理の逆」で検索する。


ここで説明するより、検索結果のサイトでの解説を見た方がはやい。
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「円r」って何じゃい?



△BDC の外接円と直線AC の交点を点P とすると、
円周角の定理より ∠BDC=∠BPC です。
∠BDC=∠BAC ならば点P と点A が一致するので、
点A は△BDC の外接円上にあり、
四点A,B,C,D は同一円周上にあることになります。

弦BC 上の点なんて、出てこないと思うけど。
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点Dが円周上にないとすると∠BDC=∠BACが矛盾することを証明するために点Mを使います。


∠BDC=∠BACのとき、点Dは円rの外側にあると仮設をたてます。
この仮説では矛盾することを証明します。

直線MDと円rの交点をPとすると、
∠BDC<∠BPC
点Pは円周上の点なので、弧BCに対して等しい弧に対する円周角は等しいので、
∠BAC=∠BPC
よって、∠BDC<∠BACになって仮説の∠BDC=∠BACに矛盾するので、点Dは円rの外側の点ではない。
ということがわかります。
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