原点からの距離、通る点から直線の方程式を求める

タイトルにも書きましたが、下の問題の解法がわかりません…
回答お願いします！

点(3,-2)を通り、原点からの距離が５√２/2、の直線の方程式

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2018/01/23 14:31

「原点からの距離が５√２/2」にある点は、

原点を中心とした半径 5√2/2 の円周上にあるよね。
つまりこの円の接線が、点（3、－2）を通ればよいと云う事ですね。
此れならわかるでしょ。

No.2 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2018/01/23 16:16

ベクトルの内積で考えるのが、一番簡単ですが！？

求める直線の法線で、原点を通る直線との交点を、(a,b)とおけば、
原点(0,0)から交点(x,y)へのベクトルを→aとし、
C(3,-2)から交点(x,y)へのベクトルを→bとすれば、
直交条件より、→a・→b=0より
→a=(x,y)
→b=(3,-2) ー(x,y)=(3-x,-2ーy)
∴ x(3-x)+y(ー2ーy)=0
∴ 3xー2yー(x^2+y^2)=0
∴ 3xー2y=x^2+y^2
ここで、( 5√2 /2 )^2= 25/2からx^2+y^2=25/2 …(1)を代入だが、
点C(3,ー2)を代入した場合右辺は、13になるので、(1)の設定値がおかしいのでは？

No.3 回答者： 20170130 回答日時： 2018/01/24 00:36

原点と直線の距離の公式は説明を省略します。

点(3,-2)を通り、傾きが k の直線は
y + 2 = k *(x - 3)
kx -y -(3k + 2) = 0

原点と直線の距離の公式より(両辺を2乗)
(3k+2)^2/(1+k^2) = 25/2
2(9*k^2 + 12k + 4) = 25(1 + k^2)
7 * k^2 -24k + 17 = 0
(k-1)(7k-17) = 0

k = 1 , 17/7

直線の式
y = x - 5, y = (17/7)x - (65/7)

検算してないので、計算ミスがあるかもしれません

No.4 回答者： 20170130 回答日時： 2018/01/24 10:42

ちなみに、No.2様の推論で導きだされた

3x-2y=(25/2) は求めている点(3,-2)を通る直線の式ではなく
点(3,-2)から円に引かれた2本の接線で定まる2つの接点がある直線の式なので
点(3,-2)は通りません

この推論を続けると
3x-2y=(25/2) と　x^2+y^2=(25/2) から　2つの接点の座標を出し
接点と点(3,-2)を通る直線の式を導けば良いと思います

(私の計算では、2つの接点は　(5/2,-5/2)と(85/26,-35/26)になりました)

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2018/01/24 13:09

20170130さんの言われる通りです。

間違っていました！
別解として、
原点からの距離が5√2 /2の円 x^2+y^2=5√2 /2=( 5/√2 )^2 …(1) に接して
点(3,ー2)を通る直線とも解釈できるから、(1)より、円における接線の公式より
(1)の接線は、接点を、(x0 ,y0)とすれば、
x0・x+y0・y=25/2 また、接点は、円上の点でもあるので、
x0^2 + y0^2 =25/2 から交点を求めてと、言われている通りです！