(2)教えてください

(2)教えてください

No.3 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2018/01/26 03:35

正四面体ABCDなので、それぞれの面は正三角形

0<t<2より、0<BQ<2、0<QP<2、0<BP<2


まずは△ABQを考えます。
∠BAQ=60° なので余弦定理より
(BQ)²=(AB)²+(AQ)² -2AB・AQcos60°
=2²+t² -2×2t×(1/2) =t²-2t+4
ゆえに、
BQ=√(t²-2t+4)

同様に△APQを考えて、余弦定理から
(QP)²=(AP)²+(AQ)² -2AP・AQcos60°
=(2-t)²+t² -2×(2-t)t×(1/2) =4-4t+t²+t²-2t+t² =3t²-6t+4
QP=√(3t²-6t+4)

△CBPは△ABQと合同でもあるので、BP=BQより
BP=√(t²-2t+4)


ここで辺ごとの最小値を考えます。

BQ=√(t²-2t+4)=√{(t-1)²+3}
ルートの中は t=1のとき、最小値3を取るので、
このことから、t=1のとき、BQの最小値は√3 となることがわかります。

同様に、
QP=√(3t²-6t+4)=√{3(t²-2t)+4}=√{3(t-1)²-3+4}=√{3(t-1)²+1}
ルートの中は t=1のとき、最小値1を取るので、
t=1のとき、QPの最小値は1 だとわかります。

したがって、
すべての辺がt=1で最小値を取ることがわかったので、
△BPQの3辺の長さの和は BQ+QP+BP=2BQ+QP で表されることから
t=1のとき、2BQ+QPの最小値は 2√3 +1 となることがわかります。


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今回のケースでは、
展開図上に一直線を描いたものを最小値とすることができません。
ですが、展開図を眺めていれば
BPがACに垂直になるときに最小になることと、
PQがCDに水平になるときに最小になることに気づけるかもしれませんね。

No.4 回答者： jyuguritto 回答日時： 2018/01/26 08:34

遅くなりました。

No.2 回答者： jyuguritto 回答日時： 2018/01/25 22:56

問題を読み違えていますので再回答します。

しばらく時間を下さい。

No.1 回答者： jyuguritto 回答日時： 2018/01/25 22:50

（2）だけです。

　　図を添えましたので検算をし確認してください。