極限について、おねがいします。

二つ聞きたいです。よろしくおねがいします。
(1)lim（ｘ）＾１／ｘ＝０であるのに、なんでlim（ｎ）＾１／ｎ＝1なんですか？
ともにｘ→正の無限大に発散しｎも同様とする。
(2)ｌｏｇｘ≦ｘ－1はｘ＞０のみでしか成立しない理由はなんでですか？確かにｘ≦０部分はｌｏｇが存在しないけど、不等式の評価はできないんですか？
ついでに(3)もお願いします。できれば教えてもらいたいです。
(3)ｘ＾１/ｘの増減とｌｏｇ1/ｘの増減が一致するのは微分すればわかりますが解ではｌｏｇが増加関数であることより一致するとなっていたのです。なぜ増加関数ならそうなるんですか？

No.1 回答者： hitomi_sa 回答日時： 2001/07/11 21:20

こんばんは。

（２）だけね。
ｘ≦０においては、ｌｏｇ ｘ （対数の底はｅ）を定義しない
ことになっているので、値が存在せず、値が存在しないと
いううことは、当然不等式がうんぬんという話も出てきません。
値が２つ存在して、はじめて大きいとか小さいとか比較が
できるからね。

No.2 回答者： taropoo 回答日時： 2001/07/11 22:35

まず表記に問題ありです。

> lim（ｘ）＾１／ｘ
と書いてしまうと通常べき乗は四則演算より優先されるので、xの１乗をxで割ったもの（つまり１）と誤解されてしまいます。
limの書き方も含め教えて！ｇｏｏでは
　　　　lim_{x→∞} x^(1/x)
などと書く事が多いです。

次に（１）ですが、
　　　　lim_{x→∞} x^(1/x) = 0　（xは実数)
が正解でしたがって当然
　　　　lim_{n→∞} n^(1/n) = 0　（nは整数）
となります。
　　　　lim_{n→∞} n^(1/n) = 1
は何かの間違いでしょう。

それから（３）。x^(1/x)とlog(1/x)の増減は一致しません。
　　　　{x^(1/x)}' = (1-log x)x^(1/x - 2)
なので0<x<e(eは自然対数)で単調増加、(e<x)で単調減少です。
log(1/x)が(0<x)で単調減少なのはわかりますよね？log xが単調増加、1/xが単調減少だからです。

この回答への補足

表記の書き方までありがとうございます。それと早い回答もありがとうございます。補足してください。問題を書き間違えました。
ｘ＾(1/ｘ）とｌｏｇ{ｘ＾(1/X）}の増減の一致でした。
お願いします。

補足日時：2001/07/11 23:07

No.3 回答者： siegmund 回答日時： 2001/07/11 23:38

表記については taropoo さんの言われるとおりですね．

(1) あれ？
lim_{x→∞} x^(1/x) = 1
ですよ．
対数をとると，
log{x^(1/x)} = (1/x)log x → 0　　(x→∞)
ですから．
必要ならロピタルの定理を使えばＯＫ．
x の代わりが n でも同じことです．

ついでに
log{x^(1/x)} = (1/x)log x → ∞　　(x→+0)
lim_{x→+0} x^(1/x) = 0
です．

taropoo さんもちょっと誤解があるようです．

(2) hitomi_sa さんの言われるとおり，定義されていない(値がない)ものについて
大小比較は全く意味がありません．

(3) 要するに，f(g(x))の形になっているわけで
df(g(x))/dx = f'(g(x)) g'(x)
ですから，f'(g(x)) > 0 なら，df(g(x))/dx と g'(x) の増減が一致すると
言っているのです．
今は，f が対数関数ですから，g(x)>0 である限り f'(g(x))>0 です
(つまり，対数関数が増加関数)．

No.4 回答者： taropoo 回答日時： 2001/07/12 00:25

siegmundさんのおっしゃる通りで

　　　　lim_{x→∞} x^(1/x) = 0　（xは実数)
　　　　lim_{n→∞} n^(1/n) = 0　（nは整数）
は
　　　　lim_{x→∞} x^(1/x) = 1　（xは実数)
　　　　lim_{n→∞} n^(1/n) = 1　（nは整数）
の間違いです。お詫びして訂正いたします。

蛇足かもしれませんが、(3)についてのsiegmundさんのコメントにmonmonmonさんのために補足をすると、
　　　　f(y) = log y
　　　　g(x) = x^(1/x)
のことを言っています。つまり
　　　　f(g(x)) = log {x^(1/x)}
ということです。こうすると、f'(y) = 1/y > 0 (つまり単調増加）ですから
> df(g(x))/dx = f'(g(x)) g'(x)
より、d f(g(x)) / dx と　g'(x)の符合が一致し、f(g(x))とg(x)の増減が一致すると言う事です。

また何かミスってなければ良いけど。

No.5 回答者： siegmund 回答日時： 2001/07/12 17:47

siegmund です．

ちょっとミスタイプしちゃいました．
どうも最近ミスタイプが多くていかんな～．

> ついでに
> log{x^(1/x)} = (1/x)log x → ∞　　(x→+0)
> lim_{x→+0} x^(1/x) = 0
のところは
　　log{x^(1/x)} = (1/x)log x → - ∞　　(x→+0)
　　lim_{x→+0} x^(1/x) = 0
と訂正してください(１行目の右辺の∞の前の負号が抜けました)．

taropoo さん，適切な補足をありがとうございました．