次の質問に答えてください。
1.3x≡1(mod7)
  を満たすxを求めよ。
2.次の合同式の解をすべて求めよ。
  4x≡8(mod12)
3.次の連立合同式の解を求めよ。
  x≡2(mod5)
  x≡3(mod6)

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A 回答 (3件)

そうですね。

(2)のほうはさらに簡約する
ことができますから。

x≡a (mod b)とあったら、x-aがbの倍数だよと
いうことによく注意して、(1)~(3)を考えてみて
下さい。>とぴぬしさま
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2.について。


4x≡8(mod12)は、4(x-2)≡0(mod12)
となるのでx-2が3の倍数になればよいですね。
よって答えは、x≡2(mod3)となります。

他はhitomi saさんの回答の通りです。
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(1)は(2)と違って「xを求めよ」とだけ


書いてあるので、例えばx=5が解になるのかな?
すべて書くとなれば、x≡5 (mod 7)ですね。

(2)はx≡5 (mod 12)ですね。
(3)はx≡27 (mod 30)でしょうか。
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Qa≡b(mod m),c≡d(mod m)⇒ac≡bd(mod m)の逆は成立つ?

こんにちは。

参考書に合同式3x+5≡7(mod11)の解き方が載ってまして

3x≡2(mod11)
12x≡8(mod11)
x≡8(mod11)

とすんなり解かれていたのですが
最後の部分は命題
a≡b(mod m),c≡d(mod m)⇒ac≡bd(mod m)
(12≡1(mod11),x≡8(mod11)⇒12・x≡1・8(mod11))
の逆を使ったのかと推測しましたが一般に逆は成立つのですか?

それとも別の命題を使われてるのでしょうか?

Aベストアンサー

逆は成り立ちません。
そもそも、
>ac≡bd(mod m)
の左辺も右辺も分解は一意ではないですし。(例えば、a*cとも,1*(ac)とも表せる)

該当する部分で使っているのは、
・12x-x=11xが11の倍数である事、すなわち、12x≡x (mod 11)が成り立つ事
・推移律(a≡b,b≡c⇒a≡c)
の2つです。

Q画像の3≡3(mod4)からのx≡3(mod4)

がわからないんですが、どういう意味なんですか?
3×3=9を4で割ると1余り、それが1(mod4)と≡なのは分かるんですが。

Aベストアンサー

3x≡1
3*3x≡3*1
9x≡3
4*2x+x≡3
x≡3

解説を生かすなら、両辺を3倍する。

と考える。

Qa^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c)

文中の文字は一般的な数学公式集の条件と同じと考えて下さい。
合同式
a≡b(mod c)ならば a^n≡b^n(mod c) は成り立ちますが

a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c) は成り立ちますか。

公式集でa≡b(mod c)ならば a^n≡b^n(mod c) はよく見ますが逆は見ません。
a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c) が成り立つとお考えの場合には成り立つと断言して下さい。大変申し訳ないのですが質問者に対する疑問文で回答を終わらせないで下さい。
反例をあげて成り立たないと書く場合にはどういうときに成り立ち、どういうときに成り立たないかお書き下さい。

Aベストアンサー

ふつうこの手の命題は
任意の a, b, c, n に対して「a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c)」が成り立つ
と読むし, その観点でいえば #5 で言われているように「反例を 1つ挙げる」だけで終わる.

「どういうときに成り立ち、どういうときに成り立たないか」ということを問題にするなら
a, b, c, n のうちどれを固定してどれを「任意に設定できる」ものにするか
というところから話はスタートする (すべてを任意に選んでいいなら上で終わってるし, 逆にすべて given では話にならない). 議論として面白いのは
c と n を固定したときに, 任意の a と b に対して「a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c)」が成り立つかどうか
だろうけど, そうだとしても厳密に答えようとすると高校ではしないような話が出てくる (あるいはそのような話を使った方が議論が簡単) んじゃないかな.

Qx^2-3x+k=0の実数解をもつ定数kの値を求めよ。 の問題が解けま

x^2-3x+k=0の実数解をもつ定数kの値を求めよ。 の問題が解けません。答えはk=4/9なんですが
同じ答えになりません。

Aベストアンサー

>答えはk=4/9なんですが
これは間違いです。

実数解を持つ為の条件は判別式D=3^2-4k≧0です。
これから
4k≦9
∴k≦9/4
これが正しい答えです。

Qx^2 ≡ 1 mod n

nが素数で
nを法とする既約剰余群(Z/nZ)*において
位数が2の元は-1だけであることを示したいのですが、

x^2 ≡ 1 mod n
⇒ (x-1)(x+1) ≡ 0 mod n
⇒ x = ±1
ではダメでしょうか。

ある本だと
以下の定理を使っています。
「Gを有限巡回群とする。|G|の任意の約数dに対して位数dのGの部分群が唯一つ存在する。」
この定理より nの既約剰余群において、位数2の元は-1のみ。

しかし、この定理の証明が私にとって難解で、まったく理解できません。
結局、位数2の元が-1だけであることを言いたいので
x^2 ≡ 1 mod nを
上記のように解けば説明になっているのでは?と思いました。

x^2 ≡ 1 mod n を解くだけで説明になっているでしょうか?
アドバイスお願いします。

また、もしできたら
「Gが有限巡回群のとき… |G|の任意の…」 の定理の証明をわかりやすく説明していただけないでしょうか。

Aベストアンサー

>ではダメでしょうか。
n = 2 の場合が忘れ去られているけど、まあいいか。
最後の結論が、n が素数であることを意識していれば OK としよう。


>「Gが有限巡回群のとき… |G|の任意の…」 の定理の証明を
>わかりやすく説明していただけないでしょうか。
証明などもう忘れた。
けど、そんなに難しい代物ではなかったはず。

(Z/nZ)* が巡回群であることを示すのはどうやったの?


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