二次関数 ｙ＝ax²＋bx＋c のグラフがｙ＝x²＋8x＋9 のグラフと（1,－5）に関して対称なと

二次関数 ｙ＝ax²＋bx＋c のグラフがｙ＝x²＋8x＋9
のグラフと（1,－5）に関して対称なとき、a、b,c,の値をそれぞれ求めよ。

xy平面上の放物線ｙ＝3x²＋2ax＋a をx軸方向にa,ｙ軸方向にb平行移動するとこの放物線は（－2,0）でx軸と接した。このときのa,bそれぞれの値を求めよ。


どちらかだけでもいいので教えてください！

質問者からの補足コメント

• すみません！上の方ただけで大丈夫です！下は頑張ってとけました。すみません！

    補足日時：2018/04/18 06:29

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/04/18 09:47

点 (p, q) に対して対称ということなら

(a) まず、元のグラフの原点を (p, q) に移動する：
　x → x - p, y → y - q
に変換。

(b) このグラフを、新しい原点に対して鏡対称にする：
　x → -x, y → -y
に変換。

(c) このグラフの原点を、元のグラフの原点に戻す：
　x → x + p, y → y + q
に変換。

この3つを行うということで、結局は元の式で
　　x → 2p - x, y → 2q - y
に変換すればよいことになります。

つまり
　y = x² + 8x + 9
　　↓
　2q - y = (2p - x)² + 8(2p - x) + 9
→　2q - y = x² - 4px + 4p² + 16p - 8x + 9
→　y = -x² + (4p + 8)x - 4p² - 16p + 2q - 9

これと
　y = ax² + bx + c
を比べれば
　a = -1
　b = 4p + 8
　c = - 4p² - 16p + 2q - 9

p=1, q=-5 を適用すれば
　a = -1
　b = 12
　c = -39

検算してみれば
　y = -x² + 12x - 39
　　= -(x - 6)² - 3
　y = x² + 8x + 9
　　= (x + 4)² - 7
ですから、
・凸の方向が逆で、とんがり係数は同じ
・頂点は (6, -3) と (-4, -7) で (1, -5) に対して対称
になっていますね。

No.5 回答者： springside 回答日時： 2018/04/21 19:43

こういうのは、グラフや頂点の座標等を考える必要は全くありません。

単純に機械的計算で（つまり、何も考えずに手を動かすだけで）解けるし、その方が楽です。

点(x,y)の点(1,-5)に関して対称な点を(X,Y)とすると、
点(x,y)と点(X,Y)の中点が点(1,-5)ということだから、
(x+X)/2=1、(y+Y)/2=-5となる。
よって、x=-X+2、y=-Y-10

これを、y=x²+8x+9に代入して、
-Y-10=(-X+2)²+8(-X+2)+9
∴Y=-X²+12X-39

これが、y=ax²+bx+cと一致するから、係数を比較して、
a=-1、b=12、c=-39

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2018/04/18 15:54

グラフを書けば、イメージしやすいと思います。

y=x²+8x+9=(x+4)²－7 ですから、頂点座標が (-4, -7) で、下に凸な放物線です。
点(1, -5) は、頂点から x 軸方向に +5, y軸方向に +2 の距離にありますから、
求める放物線の頂点座標は、(1+5, -5+2) で、(6, -3) となります。

元の放物線の y 軸との交点は (0, 9) ですから、同じように考えて、
求める放物線は (1+1, -5-14) の (2, -19) を通る筈です。

当然対称形なので、x² の係数の符号だけが変わります。
従って、求める2次関数 y=ax²+b+c は、
a=-1 で、2点 (6, -3), (2, -19) を通る事になります。
b, c の連立1次方程式になりますから、これを解いて
a=-1, b=12, c=-39 となります。
※ 細かい計算は、ご自分で確かめて下さい。

No.2 回答者： Tamageta 回答日時： 2018/04/18 09:09

参考になれば。

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2018/04/18 06:46

上下をひっくり返したようなグラフになるのでaは-1。

頂点座標を(p,q)と置くと、(p-4)/2=1,(q-7)/2=-5の関係が成り立つ。これを解いてp,qの値を使ってb,cの値を求める。