三角形の3つの傍接円に外接する三角形の内接円の半径

三角形の3つの傍接円に外接する三角形の内接円の半径をr'とします。
もとの三角形の内接円の半径をr、3つの傍接円の半径をr_A、r_B、r_Cとします。

このとき、
2r'=r+r_A+r_B+r_C
となるらしいのですが、どう示せばよいのでしょうか?

No.1 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/05/22 01:31

2r'=r+rA+rB+rCを証明せよ。

1、まだ証明できてないが、途中までの検討結果を述べる。
2、△ABCの３つの角をA,B,Cと記す。３つの辺をa,b,cと記す。△ABCの外接円の半径をR=1とすると
a=2sinA、b=2sinB、c=2sinC
△ABCの周の長さをℓとする。ℓ= a+b+c
3、次のように各点に名前をつける。
A'の側の傍接円の中心をA"とする。
B'の側の傍接円の中心をB"とする。
C'の側の傍接円の中心をC"とする。
直線ABの延長とB' C'の交点をPとする。
直線ABの延長とC' A'の交点をQとする。
直線BCの延長とC' A'の交点をRとする。
直線BCの延長とA'B'の交点をSとする。
直線CAの延長とA'B'の交点をTとする。
直線CAの延長とB' C'の交点をUとする。
4、△ABCと合同な三角形がほかに３個ある。
△AUPと△ABCは直線B" C"を対称軸として線対称だから合同である。
△RBQと△ABCは直線A" C"を対称軸として線対称だから合同である。
△STCと△ABCは直線A" B"を対称軸として線対称だから合同である。
5、△A'SR、△B'UT、△C'QPはいずれも二等辺三角形である。底辺の長さ= ℓである。
△A'SRは∠S=∠R=Aだから二等辺三角形。底辺RS=RB+BC+CS=c+a+b=ℓ
△B'UTは∠U=∠T=Bだから二等辺三角形。底辺UT = ℓ
△C'QPは∠Q=∠P=Cだから二等辺三角形。底辺QP = ℓ
6．△ABCの面積Sと周の長さℓと内接円半径ｒはS=ℓr/2の関係がある。なぜならば、
△ABCの内心をIとすると、△ABIの面積=cr/2、△BCIの面積=ar/2、△CAIの面積=br/2、
この３個の面積を合計するとS=(a+b+c)r/2=ℓr/2。ℓr=2S
S=bc/2･sinA。2S=bc･sinA=ℓr。r=bc/ℓ･sinA。r=ab/ℓ･sinC
7、△ABCの傍接円は、△A'SR、△B'UT、△C'QPの三つの二等辺三角形の内接円である。
二等辺三角形の場合、rA = ℓ/2×tan(A/2) 、rB = ℓ/2×tan(B/2) 、rC = ℓ/2×tan(C/2)
8、二等辺三角形の斜辺の長さは
A'R=A'S=ℓ/2cosA、B'T=B'U=ℓ/2cosA、C'P=C'Q= ℓ/2cosA
二等辺三角形の面積は
△A'SR= ((ℓ^2)/4)tanA、△B'UT= ((ℓ^2)/4)tanB、△C'QP= ((ℓ^2)/4)tanC
9、項目6で述べた方法で．△A'B'C'の内接円の半径r'を△A'B'C'の面積S'と周長から求めるでことができる。
S'=△A'SR+△B'UT+△C'QP－2S= ((ℓ^2)/4)(tanA+tanB+tanC)－2ℓr
周長= A'R+A'S+B'T+B'U+C'P+C'Q－(a+b+c)=ℓ(1/cosA+1/cosB+1/cosC－1)
2r'=4S'/周長=4(((ℓ^2)/4)(tanA+tanB+tanC)－2ℓr)/ℓ(1/cosA+1/cosB+1/cosC－1)
=ℓ(tanA+tanB+tanC)－2r)/(1/cosA+1/cosB+1/cosC－1)
10、以上から、2r'=r+rA+rB+rCの両辺を数値計算できろ。Excelで計算式を作って計算すると、
A=B=C=60°の正三角形のとき、r=0.5、rA=rB=rC=1.5、r'=2.5で、式は成立する。
ほかにA=50°、B=50°、C=80°、や40、60、80、鋭角三角形では式が成立している。
鈍角三角形では、形が崩れる。
文字式の計算で、式の成立を証明することは、成功してない。もう少し検討を必要とする。

この回答へのお礼

たくさんの考察ありがとうございます。参考になります。

お礼日時：2018/05/22 02:24