数学です

曲線と直線 円C:(x-1)^2+(y-2)^2=5の中心をＡとする。原点Oを通り点Ａからの距離が1/√2である直線をl1.l2とするとき,円Ｃに内接し、かつl1,l2に接する円の半径を求めよ。

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2014/04/22 02:48

A(1,2)

原点Oを通り点Ａからの距離が1/√2である直線l1.l2をy=axとすると

|2-a|/√(1+a^2)=1/√2

整理すると

a^2-8a+7=0

(a-1)(a-7)=0

a=1またはa=7

l1:y=x

l2:y=7x


円Ｃに内接し、かつl1,l2に接する円C'の中心BはAO上にあるのでB(p,2p)と書ける。

円C'の半径をrとするとBからl1,l2への距離がrであるから

r=|2p-p|/√(1+1^2)

r=|2p-7p|/√(1+7^2)

p>0,r>0としてよい。

これらはいずれも下式を与える。

p=(√2)r　　　　　　　　　　　(1)

OB＋rは円Cの直径となるので

OB+r=2√5

OB=√[p^2+(2p)^2]=(√5)p

故に

(√5)p+r=2√5 (2)

(1)、(2)よりpを消去して

r=2√5/(1+√10)=2(5√2-√5)/9

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/04/21 23:21

図を書いてみるとわかるのですが、

（１）求める円の中心は、原点と円Cを結ぶ直線、つまりｙ＝２ｘ上にあるので、
その座標は（ｐ、２ｐ）と表すことができます。

（２）原点からPまでの距離はｐ＊√５であり、Pからｌ１、ｌ２までの距離は
１／√２＊ｐ＊√５／√５＝ｐ／√２　と表すことができます。そしてこれが
求める円の半径になります。（三角形の相似を使います）

（３）点Ｐは点Ａから√５－ｐ／√２の距離にあります。

これらを用いれば点Ｐの座標も、円の半径も出ると思います。

No.1 回答者： kamikami30 回答日時： 2014/04/21 22:33

そうですか。

どういった理由でどんな質問ですか？