以下の問題がどうしても解けません。
アドバイスよろしくお願いいたします。

「半径1の円に内接する△ABCにおいて、AB=√3 、BC=1/2であるときCAを求めよ」


正弦定理から余弦へ転換させて解こうとしましたがうまくいきませんでした(>_<)
よろしくお願いいたしますm(_ _)m

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A 回答 (5件)

∠BAC を a とすると,CA は



2 cos (30 - a)

となります(図を描いてみましょう).

円の中心と BC とがなす三角形の円の中心での角が 2a であることより,

sin a = 1/4,cos a = √15/4

であることがわかるので,加法定理で求められそうな気がします.
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この回答へのお礼

ありがとうございました。m(_ _)m
内接する四角形を作って-30+aの角を使ったのですね。
実はcosCから余弦を適用したら一発で解けてしまいました(^^;

お礼日時:2001/07/17 14:32

先ず、XとY軸を描いて点(0,0)を中心とし半径1の円と点(1,0)を中心とし半径1/2の円を描いて下さい。


そして点Aを(-1/2,-√3/2)、点Bを(1,0)とします。すると点Cは?そう先の二つの円の交点ですね。あとは簡単。
点Cを(a,b)とすると、
aa+bb=1…あ
(a-1)(a-1)+bb=1/4…い
あ、い を解いて
a=7/8,b=+√15/8,-√15/8
よって(AC)の二乗は 23/8+3√5/8,23/8-3√5/8
となります。答えは上の平方根となります。
何故かは考えてみて下さい。あと(AC)を解く時は
(AC)の二乗=aa+bb+a+√3b+1
_ = 1 +a+√3b+1
とした方が速く、しかも計算間違いが少なくなります。
他にももっと分かり易く良い方法はあると思いますがとりあえず…
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この回答へのお礼

ありがとうございました。m(_ _)m

お礼日時:2001/07/17 14:39

余は三角形ABCと三角形AOCにたいして余弦定理を適用したぞ。


するとそれぞれ
(AC*AC)=13/4ー√3cosB---------(1)
(AC*AC)=2ー2cos2B
=4-4cosB*cosB----------(2)
となるので
これをcosBについて解き(二次方程式)、(1)に代入するとこたえがでるぞ。
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余は三角形ABCと三角形AOCにたいして余弦定理を適用したぞ。


するとそれぞれ
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=4-4cosB*cosB----------(2)
となるので
これをcosBについて解き(二次方程式)、(1)に代入するとこたえがでるぞ。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。m(_ _)m
cosCの余弦でも求めることが出来ました。

お礼日時:2001/07/17 14:37

作図と解析を適当にこき混ぜて使うというのも、なかなか便利ですよ。



「半径1の円に内接する△ABCにおいて、AB=√3 、BC=1/2であるときCAを求めよ」

この円の直径が2、そこへ√3、と来たんだから、とりあえず、
Aを通る直径をADとしてみると、AD=2, AB=√3、だから、BD=1はオッケーすよね。ABDは直角三角形だ。そして円の中心OとB,Dが作る三角形OBDは正三角形で一辺が1。

で、BC=1/2ですけど、こりゃ何だか中途半端な場所ですね。だからここから解析幾何に移動~ポン!

O=(0,0),A=(-1,0), D=(1,0)とする。OBDが正三角形ですからB=(1/2,√3/2)、そしてC=(x,y)
ここに、Cは
円周上にあって、...
(x^2)+(y^2)=1 
Cとの距離が1/2 ....
|B-C| = 1/2
という問題になります。

|B-C|^2 = 1/4
ですが、この左辺は
|B-C|^2 = (x-1/2)^2 + (y-√3/2)^2 = (x^2)+(y^2) -x -(√3)y + 1
ですから、(x^2)+(y^2)=1より、
|B-C|^2 = 2-x -(√3)y
ということ。つまり
2-x -(√3)y= 1/4
です。

 すなわち
x +(√3)y = 7/4
という直線と、円
(x^2)+(y^2)=1
の交点がC=(x,y)ですね。二次方程式の問題です。解が2つ出る。2つとも使います。

x,yが2通り分かったら、あとは|C-A|を2通り求めるだけ。(図を描いて、2つ答があることを確認してみて下さい。)

いや、計算間違いはしょっちゅうやりますんで、ご自分でチェック宜しく。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。m(_ _)m
実は√3/cosC = 2を使ってcosCを求めて
余弦を使い
3 = 1/4 + AC^2 - 2 x 1/4 x AC x cosC
で簡単に求めることができました。

お礼日時:2001/07/17 14:36

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としていいのだろうかと感じました.

それとも他の場所でしてはならないことをしていたのでしょうか?

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Aベストアンサー

√(-a) = √(-1) √a は、いろいろと論点を含んだ式です。

まず、等式の成立不成立以前に、両辺がそれぞれ示す値が特定できない。
-a の平方根も、-1 の平方根も、複素数の範囲で2個づつ在り、
√(-a) や √(-1) という書き方では、そのどちらを示しているのか
判断することができません。
それを踏まえて、2通り×2通り=計4通りの式の意味のうち、
2個は成立し、2個は成立しないのです。

この事情は、1 = √(-1) √(-1) = -1 の時と全く同じです。
違うのは、1 = √(-1) √(-1) を満たすような2個の
√(-1) の選び方と
√(-1) √(-1) = -1 を満たすような2個の
√(-1) の選び方に
共通のものが無いため、全体として 1 = √(-1) √(-1) = -1 を満たす

√(-1) の値の選び方の組が存在しないのに対して、
√(-a) = √(-1) √a のほうには、式が成立するような
√(-a) と √(-1) の値の選び方が存在するということです。
だから、ある意味「大丈夫」だとも言えます。

しかし、√(-a) = √(-1) √a が「成立する」と言うときに、
式が成立するような √(-a) と √(-1) の選択が在ることを言っているのか、
√(-a) と √(-1) の任意の選択に対して成立することを言っているのか、
その辺がハッキリしません。
前者の意味では大丈夫であり、後者の意味では大丈夫ではないのですが。

また、√a も伏兵です。a が非負実数なので、ウッカリしていると、
√a は a の平方根のうち正のほうで問題ないような気がしてしまいますが…
√(-a) = √(-1) √a は、両辺が虚数となる式なので、
√a の √ も、複素平方根関数を意味しているのかもしれません。

複素 √z の z に、たまたま正の実数値が代入されたときだけ
突如多価でなくなって、正のほうの値だけを表すというのも、
連続性や微分可能性の意味で問題ある解釈です。

探せば、まだまだ問題点が見つかりそうです。
要するに、多様な解釈を許してしまいそうな、記号法に説明力の足りない式を、
式だけ書きっぱなしにして注釈を添えなかったことに、問題があったのです。
数式は、数学文の一部に過ぎませんから、一般に、式だけで完結させようと
がんばらないで、意図が十分伝わるように、注釈を書き添えたほうがよいのです。

√(-a) = √(-1) √a は、いろいろと論点を含んだ式です。

まず、等式の成立不成立以前に、両辺がそれぞれ示す値が特定できない。
-a の平方根も、-1 の平方根も、複素数の範囲で2個づつ在り、
√(-a) や √(-1) という書き方では、そのどちらを示しているのか
判断することができません。
それを踏まえて、2通り×2通り=計4通りの式の意味のうち、
2個は成立し、2個は成立しないのです。

この事情は、1 = √(-1) √(-1) = -1 の時と全く同じです。
違うのは、1 = √(-1) √(-1) を満たすような2個の
√(-1) の選...続きを読む


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