数理科学の問題なんですが、わかりません。 定理 Dx^n=nx^(n-1) 上の定理を証明せよ。 ヒ

数理科学の問題なんですが、わかりません。

定理 Dx^n=nx^(n-1)
上の定理を証明せよ。

ヒント a^n-b^n={a^(n-1)+a^(n-2)b+…+b^(n-1)}(a-b)

わかる人、教えてください。お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/06/13 20:56

Dx^n=nx^(n-1)でDは微分作用素だから、f(x)=[ｘのn乗]を微分すると

f ’(x)=nx^(n-1)になるという多項式の微分の公式を、ヒントを使って証明せよという問題です。
微分の定義は、普通はlimΔx→0(f(x+Δx)－f(x))/Δx＿①
です。ヒントの式の両辺を(a－b)で割って、a＝x+Δx，b＝ｘを入れると
(a^n-b^n)/(a－b)={a^(n-1)+a^(n-2)b+…+b^(n-1)}＿②
a－bはΔxとなる。a^n＝(x+Δx)^n＝f(x+Δx)である。b^n＝f(x)である。
②の左辺は式①の中の(f(x+Δx)－f(x))/Δxである。だからlimΔx→0の極限をとれば、
f ’(x)になる。②の右辺を計算すると、項の数はn－1個あって、limΔx→0の極限をとると、aの極限はxになり、bもb=xだから、どの項もx^nになる。②の右辺はnx^(n-1)になる。
limΔx→0の極限は、②の左辺＝f ’(x)、②の右辺＝nx^(n-1)
ゆえに、f(x)=x^nなら
f ’(x)＝nx^(n-1)＿③

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/06/11 23:39

素直に定義に従えばいい.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/06/11 00:22

Dx^n ってなに?

この回答へのお礼

D=微分作用素
D掛けるxのn乗です。

お礼日時：2018/06/11 01:54