物理の問題です！ おしえてください！お願いします！ 水平な地面の一点から石を投げたところ、水平距離が

物理の問題です！
おしえてください！お願いします！

水平な地面の一点から石を投げたところ、水平距離が40mで地面から高さ20mの点を通って、水平距離60mの地点に落下した。このときの鉛直成分と水平成分の速度をそれぞれ答えなさい。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/11 12:31

＞このときの鉛直成分と水平成分の速度をそれぞれ答えなさい。

これ、時々刻々と変化する速度の成分を求めよ、ということですかね。
それとも「初速度の鉛直成分と水平成分」を求めよ、ということですかね。

どちらにしても、まともに解くとけっこう大変です。

鉛直下向きの重力のみが働き、空気の抵抗はないとして考えます。
投げ上げの初速度の鉛直成分を (V0y)、水平成分を (V0x) とします。

質量を m とすると、鉛直下向きに重力 -mg が働くので、
・鉛直方向加速度：ay
・水平方向加速度：ax
とすると、

(a) 鉛直方向：
　運動方程式は
　m*ay = -mg
よって
・加速度：ay = -g
・速度：初速度が (V0y) なので
　　　　vy = (V0y) - gt　　　　　①
・位置（高さ）：投げ上げた位置（高さ）をゼロとして
　　　　y = (V0y)t - (1/2)gt^2　　②

(b) 水平方向：
　運動方程式は
　m*ax = 0
よって
・加速度：ax = 0
・速度：初速度が (V0x) なので
　　　　vx = (V0x)　　　　　③
・位置（水平距離）：投げ上げた位置をゼロとして
　　　　x = (V0x)*t　　　　　④

「水平距離60mの地点に落下した」との条件より、④が x(t1) = 60 (m) となる時刻 t1(s) つまり
　(V0x)*t1 = 60
→　t1 = 60/(V0x)
この時刻に対して「高さ=0」より、②式で
　y(t1) = (V0y)t1 - (1/2)g(t1)^2
　　　　= (V0y)*60/(V0x) - (1/2)g[60/(V0x)]^2
　　　　= 60(V0y)/(V0x) - 1800g/(V0x)^2
　　　　= 0
から
　(V0y)/(V0x) = 30g/(V0x)^2
→　(V0y) = 30g/(V0x)　　　　　　⑤


一方、「水平距離が40mで地面から高さ20mの点を通って」という条件から、y(t2) = 20 のとき x(t2) = 40 なので、④より
　x(t2) = (V0x)*t2 = 40
より
　t2 = 40/(V0x)
これを②に代入して
　y(t2) = (V0y)*40/(V0x) - (1/2)g[40/(V0x)]^2
　　　　= 40(V0y)/(V0x) - 800g/(V0x)^2
　　　　= 20
より
　(V0y)/(V0x) = 20g/(V0x)^2 + 1/2

ここに⑤を代入して
　30g/(V0x)^2 = 20g/(V0x)^2 + 1/2
→　10g/(V0x)^2 = 1/2
→　(V0x)^2 = 20g
よって
　　(V0x) = 2√(5g)

⑤より
　　(V0y) = 30g/[2√(5g)] = (15/√5)√g = 3√(5g)

従って、初速度は
　鉛直方向：　(V0y) = 3√(5g)
　水平方向：　(V0x) = 2√(5g)

これにより、投げ上げてから t 秒後の速度成分は、①③より
　鉛直方向：　vy = 3√(5g) - gt
　水平方向：　vx = 2√(5g)

検算すると、
時刻 t1 = 60/[2√(5g)] = (30/√5)/√g = 6√5/√g　には②より
　　y = 3√(5g) * 6√5/√g - (1/2)g*(6√5/√g)^2 = 90 - 90 = 0
④より
　　x = 2√(5g) * 6√5/√g = 60

時刻 t2 = 40/[2√(5g)] = (20/√5)/√g = 4√5/√g　には②より
　　y = 3√(5g) * 4√5/√g - (1/2)g*(4√5/√g)^2 = 60 - 40 = 20
④より
　　x = 2√(5g) * 4√5/√g = 40

で合っているようです。

No.2 回答者： kuroki55 回答日時： 2018/06/11 13:13

石の軌跡は原点を通るので

y=ax^2+bx
と置くと
2点(40,20),(60,0)を通るので
20=1600a+40b
0=3600a+60b
これを解いて
a=-1/40
b=3/2
従って
y=-(1/40)x^2+(3/2)x
平方完成すると
（下記サイトを参考にしてください。）
https://mathtrain.jp/jikutyoten

y=-(1/40)(x-30)^2+45/2
頂点の座標は
(30,45/2)

鉛直方向の初速度をvy、石の質量をmとすると
(1/2)mvy^2=mg(45/2)（gは重力加速度）
vy^2=45g
vy=3√(5g)

頂点に達する時間をtとすると
vy-gt=0
t=vy/g=3√(5g)/g

水平方向の速度をvxとすると
vxt=30
vx=30/t=30g/{3√(5g)}=2√(5g)