行列についての問題です。この画像の問題の解き方はわかるのですが、固有値が複素数になってしまい計算がと

行列についての問題です。この画像の問題の解き方はわかるのですが、固有値が複素数になってしまい計算がとても面倒です。(2)の答えが単位行列になるので、それを使って簡単にA^nを求める方法はありますでしょうか。

No.4 ベストアンサー 回答者： uyama33 回答日時： 2018/06/18 12:20

解き方はいろいろあるが、この問題に適した方法を選ぶ必要がある。

それが出来たときに、解き方が分かるというのです。

（１）は直接計算します。

よって、E=-A^2-Aが成立する。

これを使って、
（２）は次のようにする。
A(A^2+A+E)=A^3+A^2+A=A*0=0
A^3=-A^2-A=E

（３）はｎ＝３ｋ、n=3k+1,n=3k+2　の場合に分ける。

（あ）n=3k　の場合
A^n=(A^3)^k=E^k=E

(い）n=3k+1　の場合
A^n=A*(A^3)^k=A*E^k=A*E＝A

（う）
これは自分でやってください。

この回答へのお礼

とてもわかりやすかったです。ありがとうございます。

お礼日時：2018/06/18 12:25

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/06/17 08:45

(1) ケーリーハミルトンだね。

(2)(1)の両辺にA-Eを掛ける。
これは固有値が2個とも三乗恨 からも導ける。
(3)A^n=A^(n mod 3) 但しA^0=E とする。

行列版の三乗根ですね。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/06/16 23:54

え?

A^n=A としていいわけがないよね?

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/06/16 19:54

A^2は簡単に計算できますね。

A^3=E
A^4=A^3・A=EA=A
A^5=A^3・A^2=E・A^2=A^2
A^6=(A^3)^2=E^2=E
となりますね。
つまり、A,A^2,Eと繰り返していくのです。

この回答へのお礼

この場合A^n=Aとしてよろしいのでしょうか。

お礼日時：2018/06/16 20:46