【構造力学】相反作用の問題について

【構造力学】相反作用の問題についての質問

構造力学の相反作用における下記問題の解説において、下記①の箇所が理解できないので御教授お願いします。

【問題】
　図Ⅰ(添付図参照)のように、短Bで支持されている長さℓ、曲げ剛性EIの梁ABの中央に荷重Pをかけた。このとき、固定端Aにおけるモーメント反力の大きさM(A)を求めよ。
　ただし、梁の自重は無視する。
　なお、図Ⅱのように、長さℓ、曲げ剛性EIの片持梁CDの先端に荷重Pをかけたときの、自由端Dにおけるたわみδ(D)、たわみ角θ(D)はそれぞれ δ(D)=Pℓ³/3EI 、 θ(D)=Pℓ²/2EI である。

【解説】
図Ⅱにおいて、固定端から1/2の点をE点として変位δ(E)を求めると、
EI・(d²v/dx²)=P(ℓ－x)
EI・(dv/dx)=Pℓx－(1/2)・Px²+C₁
EI・v=(1/2)・Pℓx²－(1/6)・Px³+C₁x＋C₂
境界条件より、C₁=C₂=0なので、
v=(Px²/6EI)・(3ℓ－x)
δ(E)=5Pℓ³/48EI

相反作用の定理より、
Pδ(E)=R(B)δ(D)　・・・・・・①
だから、R(B)=5P/16
つりあい式よりＡ点での曲げモーメントは、
M(A)+(1/2)・Pℓ－(5/16)・Pℓ=0
M(A)=－(3/16)・Pℓ
となり、モーメント反力の大きさは、(3/16)・Pℓとなる。

【不明な点】
Pδ(E)=R(B)δ(D)　・・・・・・①
上記式①において、「ベッティの相反作用」を適用した場合、荷重作用点と変位点の関係を考えると、式①が理解できません。

質問者からの補足コメント

• 

  〈補足〉
  D点、E点における荷重とたわみをP(D)、δ(D)、P(E)、δ(E)とし、相反作用の法則をすると以下の式が成り立つと思います。
  P(D)δ(E)＝P(E)δ(D)…②
  しかし①式 Pδ(E)＝R(B)δ(D) は上記②式にあてはまらないので、①式の成り立ちがいまいちわかりません。

    補足日時：2018/07/07 14:02

No.1 ベストアンサー 回答者： jyo-ji39 回答日時： 2018/07/06 19:40

Pδ(E)=R(B)δ(D)

力×たわみを表す式で、
左辺は、E(l/2）地点の上からの力P
右辺は、D（l）地点の下からの力(反作用の力)R(B)
を表しています。

この回答へのお礼

jyoーji39さん

ご回答有難うございます。
①式が力×たわみを表す式というのはわかりますが、恥ずかしながらまだ理解できません。

D点、E点における荷重とたわみをP(D)、δ(D)、P(E)、δ(E)とし、相反作用の法則をすると以下の式が成り立つと思います。
P(D)δ(E)＝P(E)δ(D)…②
しかし①式 Pδ(E)＝R(B)δ(D) は上記②式にあてはまらないので、式①の成り立ちがいまいちわかりません。
今一度、教えて頂けると幸いです。

お礼日時：2018/07/07 11:57