積分

この積分の答えをおしえてください
∫(0→π)log(sinx)dx

No.2 ベストアンサー 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/07 20:15

sin(x)はx=π/2に関して対称である。

2I=∫(0→π)log(sinx)dx=2∫(0→π/2)log(sinx)dx
log(sinx)→-∞　(x→+0)
であるから、この積分は広義積分である。以下で、その収束性について調べる。
log(sinx)　は(0, π/2]で連続である。
0＜λ＜1　とする。
x^λlogx→０　(x→+0)
x^λlog((sinx)/x) →0　(x→0)
lim(x→+0) x^λlog(sinx)= lim(x→+0)( x^λlogx+ x^λlog((sinx)/x))→０
したがって、∫(0→π/2)log(sinx)dxは収束する。
I=∫(0→π/2)log(sinx)dx=∫(π/2→0)log(sin(π/2- t)-dt
=∫(0→π/2)log(cost)dt

2I=∫(0→π/2)log(sinx)+ ∫(0→π/2)log(cosx)dx
=∫(0→π/2)log(sinxcosx)dx
=∫(0→π/2)log((sin2x)/2)dx
=∫(0→π/2)(log(sin2x)-log2)dx
=-(π/2)log2+∫(0→π/2)log(sin2x)dx
(2x=tとおく。)
=-(π/2)log2+(1/2)∫(0→π)log(sint)dt
=-(π/2)log2+∫(0→π/2)log(sint)dt=-(π/2)log2+I
2I=-πlog2　　(答)

この回答へのお礼

∫(0→π/2)log(sinx)dxが収束することを示す前に、∫(0→π)log(sinx)dx=2∫(0→π/2)log(sinx)dx、と書いてしまったのはなにかの錯覚ですか。
それとも∫(0→π/2)log(sinx)dx の収束・発散に関係なく、∫(0→π)log(sinx)dx=2∫(0→π/2)log(sinx)dx という数式は正しいと見なされているのでしょうか。

お礼日時：2018/07/11 18:53

No.1 回答者： xs200 回答日時： 2018/07/07 18:51

-πlog2