f(x,y)=log(x^2+y^2) の 点(1,3)について全微分可能性を検証せよ。また,その点

f(x,y)=log(x^2+y^2) の 点(1,3)について全微分可能性を検証せよ。また,その点での接平面を求めよ。

この問題の解説お願いします！

No.2 ベストアンサー 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/10 13:25

求めているのは「f(x,y)は原点以外でC＾(１)関数ですから、当然全微分可能です。

」ではないですよね。
「定義に従って、全微分可能性を調べよ。」と理解しました。
fx=2x/(x^2+y^2)
fy=2y/(x^2+y^2)
fx(1,3)=1/5
fy(1,3)=3/5
Δf=f(h+1,k+3)- f(1,3)= fx(1,3)h+fy(1,3)k+(h^2+k^2)^(1/2)ε(h,k)

ε(h,k)→0 ((h,k)→(0,0))が、f(x,y)が(1,3)において全微分可能であるための条件です。

(h^2+k^2)^(1/2)ε(h,k)= f(h+1,k+3)- f(1,3)- fx(1,3)h-fy(1,3)k
=log(((h+1)^2+(k+3)^2)/10)-h/5-3k/5
ここで、
h=rcosθ　k=rsinθ r>0

ε(h,k)= (log(((h+1)^2+(k+3)^2)/10)-h/5-3k/5)/ (h^2+k^2)^(1/2)
=((log((r^2+2r(cosθ+3sinθ)+10)/10)-(r/5)(cosθ+3sinθ)/r
=(1/r) (log((r^2+2r(cosθ+3sinθ)+10)/10)- (1/5)(cosθ+3sinθ)

ここで、
(1/x)log(1+ax+bx^2)　(x→0)=a (ロピタルの定理により簡単に得られます。)
を使って
(1/r) (log((r^2+2r(cosθ+3sinθ)+10)→(cosθ+3sinθ)/5)　(r→+0)=

したがって、
ε(h,k) →0　　((h,k)→(0,0))
となるので、「f(x,y)は点(1,3)において全微分可能である。」と結論できます。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2018/07/14 14:13

No.3 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/10 13:39

接平面を忘れてました。

z= f(x,y)として接平面を求めます。
z-log10=(1/5)(x-1)+(3/5)(y-3)
z= x/5+3y/5+log10-2
となります。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2018/07/10 06:33

この問題に取り組むなら、まず「全微分」「接平面」がそれぞれどういう意味なのか思い出せ、知らないんなら調べろ、ってことです。

そこさえ突破すれば高校数学レベルの問題だな。