質問です。真空中に置かれた平行平板コンデンサについて以下の問いに答えなさい。ただし、真空誘電率εo、

質問です。真空中に置かれた平行平板コンデンサについて以下の問いに答えなさい。ただし、真空誘電率εo、電極間の面積をS[m^2]とし、コンデンサの端効果を無視することができる。
(1)電極に+Q[C],-Q[C]の電荷を与えた。この時の電極間の電束密度および電場の大きさを求めなさい。
(2)電荷を変化させずに電極間を誘電率εの誘電体で満たした場合、電束密度および電場はどのように変化するか答えなさい。
(3)次に再び真空中に置かれたコンデンサについて極板に働く力を求めなさい。
(4)一方の電極が他方の電極の位置につくる電場の大きさを求めなさい。
(5)単位面積あたりに働く力を求め、これが(1)で求めた電場Eについて1/2εoE^2と一致することを示しなさい。
お願いします。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/07/18 19:22

(3)の一番ポピュラーな求め方は

静電エネルギー=(1/2)CV^2=(1/2)Q^2/C=(1/2)Q^2(d/ε0S)
なので、これをdで微分すると
F=(1/2)Q^2/(ε0S)

コンデンサの静電エネルギーの求め方はここ
https://www.jeea.or.jp/course/contents/01142/

積分で求めるのも面白いが、
端効果無視をおりこむちゃんとした説明と積分範囲が必要なので
一寸だけ面倒かも。。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/18 16:59

(5) は「単位面積あたり」ですか。

了解です。

(1) d<<S として、端部効果は考えなくてよいのであれば、電荷密度 Q/S の「無限平板コンデンサー」を考えるのと同じです。平板の内側表面を含む閉曲面にガウスの定理を適用すれば、電極に垂直な面を通過する電気力線はないので
　∫EdS = Q/εo - (-Q/εo)
→　E*2S = 2Q/εo
→　E = Q/εoS

電束密度は D = εoE なので
　　D = Q/S

(2) 上と同じで
　　E = Q/εS
　　D = (εo/ε)Q/S

(3) これは、どうやって力を求めることを意図しているのだろうか？
　クーロンの法則から、一方の電極の点電荷 q が相手の極板の微小面積 dS から受ける力は
　dFq = (1/4パイεo) * q * (Q/S) dS / r^2
dS = r * r*dθ　として積分すれば
　Fq = (1/2εo) * q * (Q/S)

この q を q=(Q/S)dS として平板全体で積分すれば、平板全体に働く力は
　F = (1/2εo) * Q * (Q/S) = Q^2 /2εoS

こんな感じで求めさせたいのかな？

(4) 一方の電極だけが存在するときに作る電場は、ガウスの法則から
∫EdS = Q/εo
→　E*2S = Q/εo
→　E = Q/2εoS

(5) 単位面積の極板に働く力は、(3) の結果から
　F/S = Q^2 /2εoS^2

これは (4) の電場に単位面積の電荷「Q/S」を置いたときに働く力と同じ。

　(1) で求めた電場は
　E = Q/εoS
なので
　F/S = εoE^2 /2
ということになる。