ネイピア数って何ですか？高１でも分かるように教えてください

ネイピア数って何ですか？高１でも分かるように教えてください

No.5 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/07/26 13:13

No4の投稿者です。

質問者さんは、筆算で７桁かける７桁の掛け算は、今までに１度も
やったことがないのではないかと思います。それ以上の計算を20年もやったネイピアの苦労は想像しても、何のために、何を狙ってやったのかは難しいと思います。これからネイピア数について習うのは、No4に書いた、以下のことです。
ネイピア数とは、数学で、対数関数、指数関数、微分、積分で活躍する定数です。
数学で、π≒3.14･･･の次に重要な無理数でｅ≒2.718･･･となる。
ネイピアは指数関数y=ｅ^ｘを計算して、yからｘを求め、xからyを求めることができる対数表をつくりました。この対数を自然対数といい、ｅを自然対数の底ともいいます。
y=a^x　⇔　logｙ=ｘ＿⑥
式⑨でnを無限大にした極限値をｅと定義します。
ｅ=lim(ｎ→∞)(1+1/n)^n≒2.71828182846＿⑨
式⑦により、指数関数の底として、ｅを使った関数は⑩となる。
y＝ｅ^x＿⑩
この関数は、微分すると、⑪となります。
dy/dx=ｅ^x＿⑪
すなわち、微分するとｅ^xになり、何回微分しても、答えはy＝ｅ^xになります。
この性質から、次の級数により、効率よく計算できます。
y=ｅ^x =1+x/1! +x^2/2! +x^3/3! ･･･+x^n/n!＋･･･＿⑫
指数関数の逆関数である自然対数は⑬となる。
y=logｘ＿⑬
この関数は微分すると⑭になる。
dy/dx=1/x＿⑭
こういう特徴があるうえ、ｅ以外の数aを底とした指数関数a^xも、ｅ^xを使って
a^x=ｅ^(ｘloga)＿⑮
と簡単に表せるので、数学では指数関数といえばｅ^xを使うのが標準です。
ネイピアがなぜこんな数を思い付くことになったかは。前の投稿に書いた。
なお、ｅとπはオイラーの公式⑯の関係があります。
ｅ^(ｉπ)=－1＿⑯

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/07/26 03:41

No.3の投稿者です。

図の中の式⑦に間違いがあったので、書き直しました。
１，ネイピア数とは、数学で、対数関数、指数関数、微分で活躍する定数です。
数学で、π≒3.14･･･の次に重要な無理数でｅ≒2.71828182846となる。指数の文字表示がうまく行かないので、正しい表示は図の①～⑮を見て下さい。
16世紀、電卓もコンピュータもない時代には、桁数の多い数の掛け算、割り算は非常に手間がかかる仕事でした。当時、天文学などが発達して、多量の計算が必要になりました。ネイピアは、指数法則を利用して、掛け算を足し算に変え、割り算を引き算に変えてしまう方法を思いついて、これを可能にする対数表を作りました。これを作る計算には20年かかったそうです。対数表は200年以上、計算の役に立ちました。今では電卓があるから必要ないが、計算原理ほ電卓のプログラムにも使われています。
２，指数法則を復習します。次の①②③の式が成り立ちます。
ａ^2×ａ^3=ａ^5＿①,ｘ^6÷ｘ^4=x^2＿②,(ａ^8)^(1/4)=ａ^(8/4) ＿③
式①はａ^2とａ^3の掛け算を２+３=５という足し算に変える力があります。
また式②はｘ^6÷ｘ^4の割り算を6－4=2という引き算に変える力があります。
さらに、式③はａ^8の4乗根を求める計算を8÷4という割り算に変える力があります。
しかし、これを計算に利用するためには、
２⇔ａ^2．３⇔ａ^3．４⇔ａ^４．５⇔ａ^５．6⇔ａ^6．7⇔ａ^7．8⇔ａ^8
の変換を自由に行える数表が必要です。y=a^x＿④を指数関数といいます。
aを底(てい)といいます。底が2の指数関数の表⑤を使って、掛け算をたし算にする方法をやってみましょう。
⑤ 2^2=4．2^3=8．2^4=16．2^5=32．2^6=64．
2^7=128．2^8=256．2^9=512．2^10=1024
この表があれば、８×32の掛け算は3+5=8の足し算となり、８×32=256という答えが出ます。また1024÷128という割り算は10－7＝3の引き算になり、
1024÷128=8という答えが出ます。1024の５乗根を求める計算は10÷5=2という割り算になり、2^2=4という答えが出ます。
指数関数y=a^x＿④の逆に、yからxを求める計算を対数関数といい、
logという記号を使います。
y=a^x　⇔　logｙ=ｘ＿⑥
という関係があります。これを計算に使うためには式の変形のテクニックとして、
次のように覚えて下さい。「⑥のように左の式の右辺に『a^』があったら、
『a^』を『log』に変えて左辺に付ける。すると右の式になる。
逆に、右の式の左辺に『log』があったら、『log』を『a^』に変えて右辺に付けると左の式が得られる」。このテクニックを習得できたら、対数はわかります。
例えばa^0=1とa^1=0からこの変形技術を使って0=log1，1=log aを証明できるます。やってみて下さい。対数法則も証明できます。
３，ネイピアは、実用になる計算は,7桁の精度が必要と考えて、1000万分の１の精度で、y=a^xを計算した指数関数表を作り、それを逆引きできる対数表を作りました。現代の対数表は底を10にして、y＝10^ｘ　⇔　x＝logｙを自由に対数表から求められるようになっています。でも、どんなｘでも7桁の精度で使う表を作るには、例えばx＝0.1234567のときy＝10^ｘを計算しなければなりません。
どうやったら計算できるでしょうか。
ネイピアの考えた方法は底をa＝1.0000001とすることです。
このaをN=123万4567回掛けると、N=1234567はxの1000万倍だから
N＝10^7×ｘとなり、⑦式となります。
y=a^ N =a^(10^7×ｘ)=(a^(10^7))^ｘ=ｅ^ｘ＿⑦
やり方がわかれば、計算に必要な掛け算の回数を減らす種々の工夫があります。
例えばaの３千万乗を計算するのに必要な掛け算は38回でできる方法があります。
二乗した結果をまた二乗する計算を25回繰り返すと、4000万乗を超える値になり、他の掛け算と組み合わせると、組織的に計算することができます。
20年をかけてやり遂げたのでした。
式⑦でx=1のときy=a^(10^7)=ｅ^1は式⑧になり、これがネイピア数です。
a^(10^7)=(1+1/10^7)^(10^7)= 2.718281694132=ｅ＿⑧
すると、式⑦により、ネイピアの作った表は関数y=ｅ^ｘの数表です。この表で
yからｘを求めれば対数が得られます。こうして得られる対数を自然対数といい、
ｅを自然対数の底ともいいます。
y=a^x　⇔　logｙ=ｘ＿⑥
式⑧の中のn=10^7=1000万は非常に大きい数ですが、今では、理論が進んで、
n=10^7の代わりにnを無限大にした極限値をｅと定義するので⑨となります。
ｅ=lim(ｎ→∞)(1+1/n)^n≒2.71828182846＿⑨
式⑦により、指数関数の底として、ｅを使った関数は⑩となる。
y＝ｅ^x＿⑩
この関数は、微分すると、⑪となります。
dy/dx=ｅ^x＿⑪
すなわち、微分するとｅ^xになり、何回微分しても、答えはy＝ｅ^xになります。
この性質から、次の級数により、効率よく計算できます。
y=ｅ^x =1+x/1! +x^2/2! +x^3/3! ･･･+x^n/n!＋･･･＿⑫
指数関数の逆関数である自然対数は⑬となる。
y=logｘ＿⑬
この関数は微分すると⑭になる。
dy/dx=1/x＿⑭
こういう特徴があるうえ、ｅ以外の数aを底とした指数関数a^xも、ｅ^xを使って
a^x=ｅ^(ｘloga)＿⑮
と簡単に表せるので、数学では指数関数といえばｅ^xを使うのが標準です。
⑪から⑮の式は、追々勉強して下さい。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます！すいません簡単に言うと何ですか？

お礼日時：2018/07/26 08:02

No.3 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/07/26 03:18

１，ネイピア数とは、数学で、対数関数、指数関数、微分で活躍する定数です。

数学で、π≒3.14･･･の次に重要な無理数でｅ≒2.71828182846となる。指数の文字表示がうまく行かないので、正しい表示は図の①～⑮を見て下さい。
16世紀、電卓もコンピュータもない時代には、桁数の多い数の掛け算、割り算は非常に手間がかかる仕事でした。当時、天文学などが発達して、多量の計算が必要になりました。ネイピアは、指数法則を利用して、掛け算を足し算に変え、割り算を引き算に変えてしまう方法を思いついて、これを可能にする対数表を作りました。これを作る計算には20年かかったそうです。対数表は200年以上、計算の役に立ちました。今では電卓があるから必要ないが、計算原理ほ電卓のプログラムにも使われています。
２，指数法則を復習します。次の①②③の式が成り立ちます。
ａ^2×ａ^3=ａ^5＿①,ｘ^6÷ｘ^4=x^2＿②,(ａ^8)^(1/4)=ａ^(8/4) ＿③
式①はａ^2とａ^3の掛け算を２+３=５という足し算に変える力があります。
また式②はｘ^6÷ｘ^4の割り算を6－4=2という引き算に変える力があります。
さらに、式③はａ^8の4乗根を求める計算を8÷4という割り算に変える力があります。
しかし、これを計算に利用するためには、
２⇔ａ^2．３⇔ａ^3．４⇔ａ^４．５⇔ａ^５．6⇔ａ^6．7⇔ａ^7．8⇔ａ^8
の変換を自由に行える数表が必要です。y=a^x＿④を指数関数といいます。
aを底(てい)といいます。底が2の指数関数の表⑤を使って、掛け算をたし算にする方法をやってみましょう。
⑤ 2^2=4．2^3=8．2^4=16．2^5=32．2^6=64．
2^7=128．2^8=256．2^9=512．2^10=1024
この表があれば、８×32の掛け算は3+5=8の足し算となり、８×32=256という答えが出ます。また1024÷128という割り算は10－7＝3の引き算になり、
1024÷128=8という答えが出ます。1024の５乗根を求める計算は10÷5=2という割り算になり、2^2=4という答えが出ます。
指数関数y=a^x＿④の逆に、yからxを求める計算を対数関数といい、
logという記号を使います。
y=a^x　⇔　logｙ=ｘ＿⑥
という関係があります。これを計算に使うためには式の変形のテクニックとして、
次のように覚えて下さい。「⑥のように左の式の右辺に『a^』があったら、
『a^』を『log』に変えて左辺に付ける。すると右の式になる。
逆に、右の式の左辺に『log』があったら、『log』を『a^』に変えて右辺に付けると左の式が得られる」。このテクニックを習得できたら、対数はわかります。
例えばa^0=1とa^1=0からこの変形技術を使って0=log1，1=log aを証明できるます。やってみて下さい。対数法則も証明できます。
３，ネイピアは、実用になる計算は,7桁の精度が必要と考えて、1000万分の１の精度で、y=a^xを計算した指数関数表を作り、それを逆引きできる対数表を作りました。現代の対数表は底を10にして、y＝10^ｘ　⇔　x＝logｙを自由に対数表から求められるようになっています。でも、どんなｘでも7桁の精度で使う表を作るには、例えばx＝0.1234567のときy＝10^ｘを計算しなければなりません。
どうやったら計算できるでしょうか。
ネイピアの考えた方法は底をa＝1.0000001とすることです。
このaをN=123万4567回掛けると、N=1234567はxの1000万倍だから
N＝10^7×ｘとなり、⑦式となります。
y=a^ N =a^(10^7×ｘ)=(a^(10^7))^ｘ=ｅ^ｘ＿⑦
やり方がわかれば、計算に必要な掛け算の回数を減らす種々の工夫があります。
例えばaの３千万乗を計算するのに必要な掛け算は38回でできる方法があります。
二乗した結果をまた二乗する計算を25回繰り返すと、4000万乗を超える値になり、他の掛け算と組み合わせると、組織的に計算することができます。
20年をかけてやり遂げたのでした。
式⑦でx=1のときy=a^(10^7)=ｅ^1は式⑧になり、これがネイピア数です。
a^(10^7)=(1+1/10^7)^(10^7)= 2.718281694132=ｅ＿⑧
すると、式⑦により、ネイピアの作った表は関数y=ｅ^ｘの数表です。この表で
yからｘを求めれば対数が得られます。こうして得られる対数を自然対数といい、
ｅを自然対数の底ともいいます。
y=a^x　⇔　logｙ=ｘ＿⑥
式⑧の中のn=10^7=1000万は非常に大きい数ですが、今では、理論が進んで、
n=10^7の代わりにnを無限大にした極限値をｅと定義するので⑨となります。
ｅ=lim(ｎ→∞)(1+1/n)^n≒2.71828182846＿⑨
式⑦により、指数関数の底として、ｅを使った関数は⑩となる。
y＝ｅ^x＿⑩
この関数は、微分すると、⑪となります。
dy/dx=ｅ^x＿⑪
すなわち、微分するとｅ^xになり、何回微分しても、答えはy＝ｅ^xになります。
この性質から、次の級数により、効率よく計算できます。
y=ｅ^x =1+x/1! +x^2/2! +x^3/3! ･･･+x^n/n!＋･･･＿⑫
指数関数の逆関数である自然対数は⑬となる。
y=logｘ＿⑬
この関数は微分すると⑭になる。
dy/dx=1/x＿⑭
こういう特徴があるうえ、ｅ以外の数aを底とした指数関数a^xも、ｅ^xを使って
a^x=ｅ^(ｘloga)＿⑮
と簡単に表せるので、数学では指数関数といえばｅ^xを使うのが標準です。
⑪から⑮の式は、追々勉強して下さい。

No.2 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/07/24 14:52

e=lim[n→∞](1+1/n)^n

の極限値は収束し、その値は約 2.71828182845904523536...
という無理数となります。この式を変形すると
e=lim[m→-∞](1+1/m)^m
e=lim[h→0](1+h)^(1/h)
e=Σ[n=0→∞]1/n!

などの形にすることもできます。この収束値を「ネイピア数」、別名「自然対数の底」といいます。
この値はその名の通り指数関数や対数関数の底として重要な意味があります。
高校で学ぶ数学ではすぐに色々な場面で登場すると思います。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/07/23 23:33

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4 …