式の展開をすることができなくて困っています。

(x+y+z)(y+z−x)(z+x−y)(x+y−z)を展開すると、2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-(x^4+y^4+z^4)になるようですが、何故このような答えになるのかわかりませんでした。
その為、ご存知の方がいらっしゃいましたら、ご教示いただければと思います。

なお、私が計算すると下記となります。

(x+y+z)(y+z−x)(z+x−y)(x+y−z)
= (x+y+z)(y+z−x)(x−y+z)(x+y−z)
= (x+y+z)(y+z−x)(x−(y-z))(x+(y−z))
y+z = A, y-z = Bと置き換えると、
= (x+A)(A-x)(x-B)(x+B)
= (A+x)(A-x)(x-B)(x+B)
= (A^2-x^2)(x^2-B^2)
= x^2A^2-A^2B^2-x^4+x^2B^2
= -x^4+x^2A^2+x^2B^2-A^2B^2
= -x^4+x^2(A^2-B^2)-A^2B^2
= -x^4+x^2((y+z)^2-(y-z)^2)-(y+z)^2(y-z)^2
= -x^4+x^2((y^2+2yz+z^2)-(y^2-2yz+z^2))-(y^2-z^2)^2
= -x^4+x^2(4yz)-(y^4-2y^2z^2+z^4)
= -x^4+4x^2yz-y^4+2y^2z^2-z^4
= -(x^4+y^4+z^4)+2yz(2x^2+yz)

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/31 23:28

(A+B)(A-B)=A^2-B^2を積極的に使って簡単化を図ります。

(x+y+z)(y+z−x)(z+x−y)(x+y−z)
=(x+y+z) (x+y−z) (z–(x−y))(z+x−y)
=((x+y)^2-z^2)) (z^2 –(x−y)^2)
=-z^4+z^2((x+y)^2+(x-y)^2)-(x+y)^2(x−y)^2
=-z^4+z^2(2(x^2+y^2))-(x^2−y^2)^2
=-x^4-y^4-z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ご教示いただいた回答をもとに私の計算を検証したところ、下記の2行目の「x^2(A^2-B^2)」は「x^2(A^2+B^2)」の間違い（マイナスではなくプラス）ということがわかりました。

= -x^4+x^2A^2+x^2B^2-A^2B^2
= -x^4+x^2(A^2-B^2)-A^2B^2

このたびはどうもありがとうございました。

お礼日時：2018/08/01 09:42