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実際に平方完成する手順とは逆向きに考えてみましょう。
最終的に変形したい形は
y=a(x+p)^2+q…①です。
次にその一歩手前を考えます。つまり、展開します。
y=a(x^2+2px+p^2)+q…②となります。
ここで分かるのは、平方完成をする過程で、②の形になれば①の形に変形できるということです。(中3で学習した因数分解の公式です)
ではどうすれば②の形になるか。それは()の中のxの係数と定数項に注目すれば分かります。
②の()の中のxの係数は2p、定数項はp^2です。この形であれば①のように()^2の形に出来るのです。
2pとp^2を比べると、p^2は2pの半分であるpの2乗です。つまり、()の中の定数項はxの係数の、半分の2乗であればよいです。
ここで問題を見てみると、
y=-1/2・x^2-3x-11/2
②の形にしたいので取りあえずx^2の係数-1/2でくくります。
y=-1/2・(x^2+6x)-11/2
しかしこのままでは()の中に定数項がありません。では作ればよいのです。欲しいのはxの係数の半分の2乗です。つまり6の半分である3の2乗、9です。それを()の中に足します。
y=-1/2・(x^2+6x+9)-11/2
しかしこれではさっきまでとは違う方程式になってしまいます。今足したのがいけなかったので、引きます。そうすると元の式と同じです。
y=-1/2・(x^2+6x+9-9)-11/2
今引いた9はじゃまなので外に出します。
y=-1/2・(x^2+6x+9)+9/2-11/2
y=-1/2・(x^2+6x+9)-2/2
y=-1/2・(x^2+6x+9)-1
これで②の形になったのであとは因数分解して
y=-1/2・(x+3)^2-1です。
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