極限

a>0のとき、lim(n→∞)a^n/n!を求めよ。

解いてみました。
lim(n→∞)a^n/n!=lim(n→∞)1*a^n/{n*(n-1)*(n-2)*...2*1}
=lim(n→∞)1/n*a^n/{(n-1)!}
lim(n→∞))1/n=0なので
lim(n→∞)1/n*a^n/{(n-1)!}=0
∴lim(n→∞)a^n/n!=0
としましたが、バツでした。どこがどう違っているのでしょう？？？

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#24477 回答日時： 2004/11/07 22:37

a^n　の極限が問題です。

0<a<1のとき０
a=1のとき１
a>1のとき∞

a>1のときがどうなるかですね。
質問のやり方では
1/n→０，しかし　a^n→∞だからa^n/{(n-1)!}は？

これでは元の問題と替わりません。

a^n/n!＝(a/1)(a/2)(a/3)・・・(a/n)
ここでｎ→∞ですから，aが定数であればa<k<nである
ｋが存在します。
(a/1)(a/2)・・・(a/(k-1))ここまでは定数
(a/k)・・・(a/n)＜(a/k)^(n-k+1)この部分の極限は０
定数と極限値０の掛け算なら０ですね。

いちおうこのやり方ならａによる場合分けも必要ありません。

この回答へのお礼

ていねいなアドバイスをありがとうございました。そうか、a^n/{(n-1)!}は収束しないとは言えないですよね。よくわかりました。

お礼日時：2004/11/08 06:56

No.3 回答者： noname#17965 回答日時： 2004/11/08 00:03

=lim(n→∞)1/n*a^n/{(n-1)!}

lim(n→∞))1/n=0なので
lim(n→∞)1/n*a^n/{(n-1)!}=0

ここの部分、回答には書いてませんが無意識のうちに以下の式が省略されてます。
lim[1/n*a^n/{(n-1)!}]
={lim(1/n)}*[lim{a^n/{(n-1)!}]
ここが誤りです。limの中身を分割は出来ません。
回答は＃２の通りだと思います。

この回答へのお礼

アドバイス、ありがとうございました。根本的な誤りです。勉強不足ですね。がんばります。

お礼日時：2004/11/08 06:57

No.1 回答者： postro 回答日時： 2004/11/07 20:22

たとえば

lim(n→∞)（n^2 - 1)/(n+1)=∞ ですね、それを
lim(n→∞)（n^2 - 1)/(n+1)=lim(n→∞)1/(n+1)*（n^2 - 1)
lim(n→∞)1/(n+1)=0 なので
lim(n→∞)（n^2 - 1)/(n+1)=lim(n→∞)1/(n+1)*（n^2 - 1)=0
とやったら当然バツですよね。
式全体で判断しなくてはいけません。

この回答へのお礼

アドバイスをありがとうございました。そうですよね、式全体で判断ですよね・・・。勉強不足です。がんばります。

お礼日時：2004/11/08 06:53