数三 複素数平面

数3の複素数平面についての問題を教えてください。

α、β、γはいずれも0でなく、かつ互いに異なる複素数があって、‪α‬β＝γ二乗、γβ＝‪α‬二乗 を満たしている。

(1)‪α‬＋β＋γを求めよ

(2)β＝‪α‬zとなる複素数zを極形式で表せ。ただし偏角は－π≦θ≦πを満たすものとする。

(3)複素数平面上で3点A(‪α‬)、B(β)、C(γ)を頂点とする△ABCはどのような形か。


以上です。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2018/09/29 11:02

‪（1）

α‬β＝γ²、γβ＝‪α²　から辺々かけてαγ≠０に注意するとαγ＝β²がでる。
この３式からα³＝β³＝γ³がでてくる。
すると0＝α³－β³＝(α－β)(α²＋αβ＋β²)でα≠βよりα²＋αβ＋β²＝0
したがって
(‪α‬＋β＋γ)²＝α²＋β²＋γ²＋2(αβ＋βγ＋γα)＝3(αβ＋βγ＋γα)＝3(αβ＋α²＋β²)＝0
ゆえに
α‬＋β＋γ＝0
（2）
α³＝β³よりｚ³＝1、α≠βよりｚ≠1だから
ｚ＝cos(2π/3)＋ｉsin(2π/3)　かｚ＝cos(－2π/3)＋ｉsin(－2π/3)
（3）
ｚ＝cos(2π/3)＋ｉsin(2π/3)　でもｚ＝cos(－2π/3)＋ｉsin(－2π/3)でも
ベクトルOAとベクトルOBのなす角が2π/3で長さは等しいことと
（1）より、ベクトルOCはベクトルOA、ベクトルOBと長さ等しく
それぞれとなす角が2π/3になる、
したがって
△ABCは正三角形となる。

この回答へのお礼

ありがとうございました！ とても助かります！！

お礼日時：2018/09/29 12:31

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/09/29 00:36

この問題の文章のどこがわからないのでしょうか?