数学Ⅱです 146番の解説の3行目 からtan(α-β)＜0なら範囲がπ/2＜α-β＜0で、cos(

数学Ⅱです
146番の解説の3行目 からtan(α-β)＜0なら範囲がπ/2＜α-β＜0で、cos(α-β)＞0と分かるのですか？

No.1 回答者： sasa-san 回答日時： 2018/09/29 04:10

αは鋭角：0<α＜π/2

βは鈍角：π/2<β＜π

α-βの範囲は
0 -π < α-β ＜ π/2 -π/2　より　　＃a<x<b,c<y<d ならば a-d<x-y<b-c
-π < α-β ＜ 0
となります。

ここで
tan(α-β)=-3
から、α-βは第二象限か第四象限のどちらかになるところですが、
上で求めたα-βの範囲から、α-βは第四象限であることに決まります。
ゆえに、
-π/2 < α-β ＜ 0

すると、α-βが第四象限であることから
cos(α-β)>0
であることも明らかです。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/09/29 12:49

本問では0<α<Π/2、Π/2<β<Π⇔-Π/2>-β>-Π⇔Π/2-β<0ですから

0－β<α－β<Π/2－β
⇔-Π<－β<α－β<Π/2－β<0
⇔-Π<α－β<0　です

ここで、tanの関数のグラフを思い出してください！
tanは・・・-3Π/2から-Π/2、-Π/2からΠ/2、Π/2から3Π/2・・・で同じ形のグラフが現れる周期Πの関数です。

-Π<α－β<0の範囲では
y=tan(α－β)のグラフは
-Π<α－β<-Π/2でｙはプラス・。・・・①
-Π/2ではtanは定義されない（-Π/2は漸近線）
-Π/2<α－β<0でｙはマイナスですよね。・・・②
したがって
y=tan(α－β)<0なら②に該当して、-Π/2<α－β<0です。

次にcosのグラフを思い出してください。
y=cos(α－β)のグラフは-Π/2<α－β<0では
0<y<1です。
ゆえにこのとき、0<cos(α－β)<1です。
（以上ですが、グラフの解説部分では、α-β=θと置きかえして考えるとより一層考えやすくなると思います

三角関数のグラフで解説しましたが、代わりに単位円を利用しても良いです＾＾）

この回答へのお礼

なるほど、理解できました！
分かりやすい説明ありがとうございます！

お礼日時：2018/09/29 13:43