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問1、-20℃の氷を0℃の水にするために必要な単位体積当たりの熱量の求め方と、問2、0℃の氷を0℃の水にするために必要な単位体積当たりの熱量の求め方の2つが分かりません

申し訳ありませんが、計算式等詳しく教えていただけるとありがたいです
よろしくおねがいします

A 回答 (3件)

問1氷の比熱は2.09kJ/kg・Kから、-20℃から0℃にするのに41.8kJ/kg、0℃の氷から0℃の水にするのに333.6kJ/kgかかります。


  よってO.917*41.8kJ/L+O.917*333.6kJ/L=O.917*375.4kJ/Lになります。
問2氷の融解熱は333.6kJ/kg(日本冷凍空調学会)と決まっています。従ってO.917*333.6kJ/Lになります。

O.917は氷の比重です。
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氷の比熱と融解熱の値が必要です。

通常、問題で与えられると思います。

氷の比熱は、水とは異なり 2.1 [J/g・K] です。これは通常は問題で与えられるので、暗記しなくともよいでしょう。
(水の比熱 4.2 [J/g・K] は、熱の仕事当量に相当する値なので、暗記しておくべきでしょうね)
氷の融解熱は、334 [J/g」。これも通常は問題で与えられるので、暗記しなくともよいでしょう。

>問1、-20℃の氷を0℃の水にするために必要な単位体積当たりの熱量の求め方

通常、「体積当たりの熱量」で論じることは少ないと思いますが。(「計算問題」としての「演習問題」でしょうか?)

-20℃ の 1.0 g の氷を、0℃ の氷にするための熱量:
 2.1 [J/g・K] * 1.0 [g] * [ 0 - (-20) ] [K] = 42 [J]

0℃ の 1.0 g の氷を、0℃ の水にするための熱量:
 334 [J/g] * 1.0 [g] = 334 [J]

よって、-20℃ の 1.0 g の氷を、0℃ の水にするための熱量:
 42 [J] + 334 [J] = 376 [J]

これは「1 g の」ですが、水および氷の密度を 1.0 g/cm³ とすれば、-20℃ の 1 cm³ の体積の氷を、0℃ の水にするための熱量は
 376 [J]
ということになります。
(厳密に計算したいのであれば、各々の温度での必要な有効桁数の「密度」の値を使ってください)


問2、0℃の氷を0℃の水にするために必要な単位体積当たりの熱量の求め方

これも上と同様、「体積当たりの熱量」で論じることは少ないと思います。

上に記載したとおり、0℃ の 1 cm³ の体積の氷を、0℃ の水にするための熱量は
 334 [J]
ということになります。
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問2 0度の氷を0度の水にするためのエネルギーを把握してください。


問1 氷の比熱を把握して下さい。後は、問2の分を加算すれば良いです。
両者ともに、暗記すべき基礎数値の応用です。
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Aベストアンサー

d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__①
d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²}³
初期条件t=0で、θ=π/2,dθ/dt=0

(dθ/dt)²をtで微分すると
(d/dt)((dθ/dt)²)=2(dθ/dt) d²θ/dt²__②
②の右辺に①を入れると
(d/dt)((dθ/dt)²)=2(dθ/dt)Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__③
③を積分すると
(dθ/dt)²=∫dt 2(dθ/dt) Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³
=∫2dθAxsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__④
cosθ=u__⑤
と置いて、置換積分を行う。⑤を微分すると-sinθdθ=duとなるから、④は⑥となる。
(dθ/dt)²=-∫2duAx/√{1+x²-2xu}³__⑥
=-2A/√(1+x²-2xu)+C=-2A/√(1+x²-2x cosθ)+C__⑦
Cは積分定数である。
⑦に初期条件を入れると、t=0でθ=π/2,cosθ=0,dθ/dt=0だから
0=-2A/√(1+x²)+C
C=2A/√(1+x²)__⑧
⑦は⑨となり、dθ/dtは式⑩となる。
(dθ/dt)²=-2A/√(1+x²-2x cosθ)+ 2A/√(1+x²) ,dθ/dt=Ax/√{1+x²}³・t
=-2A{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}__⑨
dθ/dt=√(-2A)√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}__⑩
式⑩は変数分離型の1階微分方程式だから
dθ/√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}=√(-2A)dt__⑪
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∫dθ/√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}=∫√(-2A)dt=√(-2A)(t+c)__⑫
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∫dθ√x /√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}=√(-2Ax)t__⑬
∫dθ/ f(θ,x)=s__⑭
f(θ,x)=√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}/√x__⑮
s=√(-2Ax)t__⑯
t=0のとき、θ=π/2,cosθ=0,f(θ, x)=0となるから、式⑭は0で割る割り算になり、使えない。
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f(θ,x)=√{1/√(1+x²-2x cosθ)-1/√(1+x²)}/√x  { }の中を通分する。
=√{√(1+x²)-√(1+x²-2x cosθ)/√(1+x²-2x cosθ)√(1+x²)√x }
右辺√の中の分子と分母に{√(1+x²) +√(1+x²-2x cosθ)}をかけると、xで約分できる。
=√{2cosθ/√(1+x²-2x cosθ)√(1+x²){√(1+x²) +√(1+x²-2x cosθ)}}
=√{2cosθ/{(1+x²)√(1+x²-2x cosθ)+(1+x²-2x cosθ)√(1+x²)}__⑰
t≒0のとき、θ≒π/2,cosθ≒0で、f(θ,x)≒0となるので、⑰の分母にcosθ=0を入れて
f(θ,x)の近似式を作ると、
f(θ,x)≒√{2cosθ/{(1+x²)√(1+x²)+(1+x²)√(1+x²)}
≒√{cosθ/(1+x²)^(3/2)}__⑱
∫dθ/ f(θ,x)≒(1+x²)^(3/4)∫dθ/√(cosθ)__⑲
この近似式も解析的に積分できないので、さらに近似して、⑳とすると近似解が求められる。
cosθ=sin(π/2-θ)≒π/2-θ__⑳
これを使うと
∫dθ/ f(θ,x)≒(1+x²)^(3/4)∫dθ/√(π/2-θ)
=-(1+x²)^(3/4)・2√(π/2-θ)__㉑
これを⑭に入れると、t≒0のときの近似解㉒を得る。
-(1+x²)^(3/4)・2√(π/2-θ)=s=√(-2Ax)t__㉒
θについて解く。
2√(π/2-θ)=-(1+x²)^(-3/4)・√(-2Ax)t
両辺を二乗すると
4(π/2-θ)= (1+x²)^(-3/2)・(-2Ax)t²
π/2-θ= (1+x²)^(-3/2)・(-Ax/2)t²
θ=π/2+(1+x²)^(-3/2)・(Ax/2)t²__㉓
これがθの近似解である。
㉓を①に入れて、近似解であることを確かめる。
d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³_①
左辺= (1+x²)^(-3/2)・(Ax)__㉔
t≒0のとき、θ≒π/2、sinθ≒1、cosθ≒0
右辺=Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³=Ax /√{1+x²}³=左辺で成立する。
これで安心して数値積分ができそうだ。

d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__①
d²θ/dt²=Axsinθ/√{1+x²}³
初期条件t=0で、θ=π/2,dθ/dt=0

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(d/dt)((dθ/dt)²)=2(dθ/dt) d²θ/dt²__②
②の右辺に①を入れると
(d/dt)((dθ/dt)²)=2(dθ/dt)Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__③
③を積分すると
(dθ/dt)²=∫dt 2(dθ/dt) Axsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³
=∫2dθAxsinθ/√{1+x²-2xcosθ}³__④
cosθ=u__⑤
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