電磁気の問題2

電極面積が S[m^2]で電極間隔が d[m]の平行平板電極に、それぞれ厚さがd[m]、誘電率がε1とε2[F/m]の誘電体が重なった状態で電極間全体に挿入されている。一方の電極を接地し、他方の電極に Ⅴ₀[V]の電圧を印加した場合、それぞれの誘電体の内部の電束密度、電界、分極、単位面積あたりの静電容量を求めなさい。

この問題の答えを教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/12/13 13:32

まずコンデンサーの電気容量の公式⑦⑧を導いて、V0から電束Qを出す。

図の上の電極に電圧V0をかけると、そこに電荷Qが蓄積される。
この電荷Qは電束Qを発生する。
発生した電束Qは。誘電体1と２を通って、接地に向かうので、
誘電体1を通る電束はQ、誘電体２を通る電束もQである。
誘電体1の面積はSだから、単位面積当たりの電束の密度は、電束密度D1= Q/S
D1= Q[C]/ S[m²]=Q/S[C/m²]＿＿①
誘電体2の面積はSだから、単位面積当たりの電束の密度は、電束密度D2= Q/S
D2= Q[C]/ S[m²]=Q/S[C/m²]＿＿②
電束密度Dと電界EはD=εEの関係にあるので、E＝D/ε
E1＝D1/ε1＝Q/ε1S＿＿③
E2＝D2/ε2＝Q/ε2S＿＿④
電圧V=Edの関係を使い、V1=E1d，V2=E2d，全電圧V０=V1+V2＿＿⑤
⑤の各式に③④を入れる。C1，C2を各層の静電容量とすると、
V1=E1d=Qd/ε1S=Q/C1，V2=E2d=Qd/ε2S=Q/C2＿＿⑥
C1=ε1S/d，C1=ε1S/d＿＿⑦
⑥を使うと
全体の静電容量C=Q/V０=Q/(V1+V2)=Q/( Q/C1+Q/C2)=1/(1/C1+1/C2)
=C1C2/(C1+C2)＿＿⑧
式⑧はC1とC2の直列接続の公式である。
C= C1C2/(C1+C2)が解ったので、Qを求めることができる。
Q＝CV0＿＿⑨
電束密度は①②に⑦を入れて
D1=Q/S=CV0/S=ε1ε2/d(ε1+ε2)・V0[C/m²]＿＿⑩
D2=Q/S=CV0/S=ε1ε2/d(ε1+ε2)・V0[C/m²]＿＿⑪
電界は③④に⑧⑨を入れて
E1＝D1/ε1＝ε2/d(ε1+ε2)・V0＿＿⑫
E2＝D2/ε2＝ε1/d(ε1+ε2)・V0＿＿⑬
分極PはP= D－ε0Eだから、単位はDの単位と同じ、
P1= D1－ε0E1=ε1E1－ε0E1=(ε1－ε0)ε2/d(ε1+ε2)・V0[C/m²]
P2= D2－ε0E2=ε2E2－ε0E2=(ε2－ε0)ε1/d(ε1+ε2)・V0[C/m²]
単位面積あたりの静電容量=C/S=ε1ε2/d (ε1+ε2)

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます

お礼日時：2018/12/13 17:30