平方数の和の公式

この動画を見て平方数の和を勉強していたのですが、途中の式(n＋1)(n^2＋n/2)からの変形がなぜ1/2nが前に出せるのでしょうか？(2n＋1)に1/2nかけたら、もとの(n^2＋n/2)になるのはわかるのですが、(n＋1)に1/2nかけたら、1/2n^2＋1/2nなってまいませんか？
共通の割れるものは前に出せるという認識でしたが、違うのですか？
教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/22 11:17

(2n＋1)に1/2nかけたら、もとの(n^2＋n/2)になるのはわかるのですが、(n＋1)に1/2nかけたら、1/2n^2＋1/2nなってまいませんか？

＞分配法則について誤解していませんか？
(1/2)nx(n+1)(2n+1)で(1/2)nを(n+1)に分配すれば
(1/2)nx(n+1)(2n+1)={(n²+n)/2}(2n+1)
(1/2)nを(2n+1)に分配すれば
(1/2)nx(n+1)(2n+1)=(n+1)(n²+n/2)
で両者ともにさらに展開すればn³+3n²/2+n/2で結局同じ形になりますから
(1/2)nx(n+1)(2n+1)
={(n²+n)/2}(2n+1)=(n+1)(n²+n/2)
です。
だから、(n＋1)に1/2nかけたら、1/2n^2＋1/2nなっていいんです。
(n²+n/2)=n/2(2n+1)という変形を逆にすれば、n/2(2n+1)=(n²+n/2）・・・①に戻るのは当然のこと
画像の式は、この変形にさらに(n+1)が掛け算されているという感覚です
つまり
(n+1)(n²+n/2)=(n+1)(n/2)(2n+1) 　ただし、掛け算の順番不問
ということ。これを逆にたどるなら①の計算をして
(n+1)(n/2)(2n+1)=(n+1)(n²+n/2)ということです。
もし、n/2を(n+1)にかければ、これは計算の流れにないこと（計算を逆順にたどってはいない）なので、
目新しい、{(n²+n)/2}(2n+1)という形が出てきてしまい、質問者さんの戸惑いの原因となったのです。

たまに見かける勘違いとしては、(1/2)nを(n+1)と(2n+1)の両方に分配して
(1/2)nx(n+1)(2n+1)={(1/2)nx(n+1)}x{(1/2)nx(2n+1)}={(n²+n)/2}(n²+n/2)としてしまう人がいますが、
これは、(1/2)nを２こ掛け算しているから間違いです。

途中の式(n＋1)(n^2＋n/2)からの変形がなぜ1/2nが前に出せるのでしょうか？
＞共通因数を見つけてくくり出しましょう
(n+1)には見当たらないようですから、(n^2＋n/2)についてくくり出し(因数分解）を考えます
(n^2＋n/2)・・・共通因数nはすぐにみつかるので
=n(n+1/2)
()内に分数があるのが気になれば、分母2に着目して通分
=n{(2n/2)+(1/2)}
=n{(1/2)2n+1/2}
これで新たに、1/2が共通因数として浮かび上がってきたので、さらにくくり出して
=(1/2)n(2n+1)と出来ることになります。
従って、(n+1)も忘れずに元の形からは
(n＋1)(n^2＋n/2)=(n+1)(1/2)n(2n+1)　順番不問
というくくり出しができます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
丁寧な解説で理解することが出来ました。

お礼日時：2018/12/22 12:10

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/12/22 10:03

以下の途中式の変形によるものです。

n+(1/2)=(1/2)(2n+1)

よって、
(n+1)(n^2+(n/2))
n(n+1)(n+(1/2))
=(1/2)n(n+1)(2n+1)

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2018/12/22 12:11